Lista de probleme 917

Se dă un arbore cu \(N\) noduri și \(N-1\) muchii etichetate cu o literă fiecare. Vom defini un drum \((x, y)\) ca fiind secvența de muchii care duc de la nodul \(x\) la nodul \(y\). De asemenea, vom considera drumurile \((x, y)\) si \((y, x)\) ca fiind același drum. Un drum poate fi palindromic dacă există o cale de a permuta toate literele parcurse in drumul respectiv în așa fel încât să formăm un drum palindromic.

Să se afle câte drumuri pot fi palindromice.

Fie un graf neorientat conex, având cele N noduri numerotate de la 1 la N. Se realizează parcurgerea în adâncime a grafului pornind din nodul 1. Dacă există mai mulţi adiacenţi ai săi nevizitaţi, atunci se alege ca nod succesor cel de indice cel mai mic. În continuare se respectă aceeaşi regulă, adică dacă nodul curent este x, se alege dintre toate nodurile adiacente cu x şi nevizitate acela de indice minim. Scrieţi un program care să determine numărul maxim de muchii care pot fi adăugate grafului astfel încât ordinea de vizitare a nodurilor prin parcurgerea în adâncime să rămână aceeaşi.

Se consideră trei numere naturale n, k și d. Să se determine cel mai mic număr natural care se poate obține prin interschimbarea ultimelor k cifre ale lui n astfel încât numărul obținut să fie divizibil cu d.

Pentru un număr natural N, considerăm toate submulțimile nevide ale mulțimii {1, 2, 3, ..., N}. De exemplu, pentru N = 3, submulțimile nevide ale mulțimii {1, 2, 3} sunt: {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3} și {1,2,3}. Pentru fiecare submulțime se ordonează mai întâi descrescător elementele sale, apoi valoarea maximă primește semnul +, valoarea următoare are semnul –, următoarea valoare + ș.a.m.d, apoi se determină suma lor. De exemplu, submulțimea {1, 2, 5, 8, 10} are asociată suma +10-8+5-2+1=6, submulțimea {4,7} are suma +7-4=3, iar submulțimea {3} are suma 3. Să se determine valoarea totală a sumelor asociate tuturor submulțimilor mulțimii {1, 2, 3, ..., N}.

Se consideră doi vectori a = a[1], a[2], ..., a[n] și b = b[1], b[2], ..., b[m] de numere naturale. Se construiește matricea c având n linii și m coloane, în care c[i][j] = 1 dacă a[i] ≤ b[j], sau c[i][j] = 2 dacă a[i] > b[j]. Să se determine numărul liniilor distincte din matricea c.

Se dă o listă de N numere naturale, indexată de la 1 la N, și Q query-uri de forma op poz, unde op = 1, 2 este tipul operației.

Cele 2 operații sunt:

• op = 1: se șterge din listă elementul aflat pe poziția poz
• op = 2: se afișează elementul din listă aflat pe poziția poz

Nicușor, primarul capitalei, a fost invitat în seara zilei de 5 septembrie 2024 la jurnalul de seară al Digi 24. Acesta a fost provocat să rezolve o problemă “de clasa a patra” propusă de către o profesoară: “Care este cel mai mic număr natural nenul care are proprietatea că dacă mutăm ultima sa cifră în fața primei cifre, valoarea noului număr este egală cu dublul numărului inițial”. Cu alte cuvinte, acestuia i s-a cerut să găsească cel mai mic număr nenul de forma \(\overline{c_1 c_2 … c_n}\) cu proprietatea \(\overline{c_n c_1 c_2 … c_{n-1}} = 2 \times \overline{c_1 c_2 … c_n}\).

După ce a rezolvat problema, Nicușor a decis să o generalizeze, astfel propunând o variantă pentru clasa a cincea: Care este cel mai mic număr natural nenul, care, scris in baza b ca \(\overline{c_1 c_2 … c_n}_{(b)}\), are proprietatea că \(\overline{c_n c_1 c_2 … c_{n-1}}_{(b)} = a \times \overline{c_1 c_2 … c_n}_{(b)}\) unde 2 ≤ a < b.

Se dă un șir de \(N\) numere întregi. Să se aleagă maxim \(K\) secvențe disjuncte astfel încât suma elementelor incluse în secvențe să fie maximă.

Se dă un șir a1, a2, …, an de numere întregi. În acest șir, o secvență de cel puțin două elemente ai, ai+1, …, aj este validă dacă ai este strict mai mic decât aj. Cu alte cuvinte, secvența de cel puțin două elemente trebuie să aibă capătul din stânga strict mai mic decât capătul din dreapta al secvenței. Să se determine câte secvențe valide sunt în șir.

RAU-Gigel și Vlad sunt prieteni buni și le place tot timpul să se provoace unul pe altul. De data aceasta, RAU-Gigel a inventat o problemă interesantă de matematică.

Acesta are un arbore secret cu N noduri (numerotate de la 1 la N), în care fiecare nod are asociată o valoare (pe lângă numărul său de ordine din arbore), care este un număr natural și ii spune lui Vlad informații despre unele drumuri din acest arbore. O informație are forma x, y, val și reprezintă faptul că lanțul din arbore de la nodul x la nodul y are cel mai mare divizor comun al valorilor asociate nodurilor acestuia egal cu val, unde val este un număr natural nenul.

Vlad știe că RAU-Gigel minte câteodată și s-ar putea ca unele dintre restricțiile date să fie eronate, astfel că vrea să afle întâi folosind informațiile ce le are la îndemână dacă ar putea exista un arbore care să respecte toate restricțiile date de prietenul său.

Pentru că știe ce programator iscusit ești, Vlad ți-ar fi foarte recunoscător daca l-ai putea ajuta cu această problemă prin a scrie un program care să o rezolve cât mai eficient.