Lista de probleme 5

Se dau un arbore binar complet infinit cu rădăcina în nodul 1 în care pentru orice nod i copiii săi sunt 2*i, respectiv 2*i+1 și Q perechi de numere u v. Se cere să se afle pentru fiecare pereche lungimea drumului(ca număr de muchii) dintre nodurile u și v din arbore.

Se dau un arbore cu N noduri și rădăcina în nodul 1 al cărui muchii au lungimi exprimate prin numere naturale nenule și Q query-uri de forma u v. Pentru fiecare query să se afle suma lungimilor tuturor drumurilor distincte de la un nod aflat în subarborele cu rădăcina în nodul u la un nod aflat în subarborele cu rădăcina în nodul v modulo \( {10}^{9} + 7 \)(lungimea unui drum este egală cu suma lungimilor tuturor muchiilor ce îl alcătuiesc).

RAU-Gigel se joacă cu noul său set de cale ferată, primit cadou de ziua lui anul acesta. Setul conține N gări distincte din diverse orașe reprezentative ale României (București, Iași, Sebeș, …), numerotate în continuare, pentru simplitate, cu numere de la 1 la N și N – 1 bucăți de șină care pot conecta între ele câte două gări distincte date (conexiunea este bidirecțională) astfel încât folosind aceste șine există un drum unic alcătuit din șine între oricare două gări distincte. Ca orice jucărie, fiecare din cele N – 1 bucăți de șină are un grad de periculozitate asociat acesteia, o valoare exprimată printr-un număr natural nenul (nimeni nu este perfect până la urmă, nici jucăriile), pentru a ști de la ce vârsta ar fi bine să poată fi folosite de copii, de exemplu. De asemenea, toate bucățile de șină au aceeași lungime constantă, de o unitate.

RAU-Gigel își desfășoară joaca pe parcursul a Q zile și în fiecare zi este supravegheat de câte un membru al familiei pentru a fi în siguranță. Din nefericire pentru el, în fiecare din cele Q zile persoana care îl supraveghează îi încurcă puțin planurile, permițându-i să folosească doar șinele care au gradul de periculozitate cel mult M (inclusiv M), o valoare naturală nenulă aleasă de aceasta (de remarcat că poate mereu folosi toate gările). Astfel, folosind toate șinele pe care le are la dispoziție pentru a conecta între ele gările corespunzătoare, va obține una sau mai multe așezări conexe maximale de gări (există un drum unic alcătuit din șine între oricare două gări distincte dintr-o așezare) pe care le va numi în continuare orașe. În fiecare astfel de zi, personajul nostru principal primește de la persoana care îl supraveghează un număr natural nenul K de bucăți de șină considerate perfect sigure pentru joaca copilului de către respectivul supraveghetor, cu care poate conecta oricare două gări distincte dorește. De asemenea, șinele primite îi sunt luate la finalul zilei (poate că persoana respectivă mai supraveghează și alți copii în următoarele zile și mai are nevoie de ele).

RAU-Gigel consideră că un lanț este un șir de una sau mai multe gări distincte astfel încât oricare două gări adiacente din acesta sunt conectate de exact o șină, iar lanțul de lungime maximă este cel format dintr-un număr maxim de bucăți de șină (astfel, lungimea unui lanț este dată de numărul de bucăți de șină din care este alcătuit). Scopul acestuia este ca în fiecare zi să formeze un singur lanț cât mai lung având la dispoziție șinele primite de la supraveghetor și cel mult câte un lanț din fiecare oraș creat de acesta, la alegere (adică pentru fiecare oraș poate să aleagă exact un lanț din el (oricare dorește) sau să nu folosească niciun lanț din acel oraș).

România este formată din N orașe conectate între ele, existând un traseu unic între oricare două orașe. Un traseu este o secvență de drumuri care conectează două orașe, astfel încât niciun drum nu se repetă. În total, există N−1 drumuri bidirecționale care conectează orașele.

Fiecare drum are și un cost asociat. Echipa lui Jeffrey a creat o lista de M perechi de orașe între care se va circula foarte des pentru livrarea coletelor. Definim costul unei perechi de orașe (x, y) ca fiind suma costurilor drumurilor din traseul de la orașul x la orașul y. De asemenea, definim costul total ca fiind suma tuturor costurilor celor M perechi de orașe date.

Jeffrey poate să aplice următorul tip de operație: selectează un drum cu un cost strict pozitiv și îi scade costul cu 1. Din motive de “frugality”, această operație poate fi aplicată de cel mult K ori, unde K este un număr natural.

Se cere să găsiți costul total minim ce poate fi obținut, după aplicarea de cel mult K ori a operației menționate mai sus.

RAU-Gigel și Vlad sunt prieteni buni și le place tot timpul să se provoace unul pe altul. De data aceasta, RAU-Gigel a inventat o problemă interesantă de matematică.

Acesta are un arbore secret cu N noduri (numerotate de la 1 la N), în care fiecare nod are asociată o valoare (pe lângă numărul său de ordine din arbore), care este un număr natural și ii spune lui Vlad informații despre unele drumuri din acest arbore. O informație are forma x, y, val și reprezintă faptul că lanțul din arbore de la nodul x la nodul y are cel mai mare divizor comun al valorilor asociate nodurilor acestuia egal cu val, unde val este un număr natural nenul.

Vlad știe că RAU-Gigel minte câteodată și s-ar putea ca unele dintre restricțiile date să fie eronate, astfel că vrea să afle întâi folosind informațiile ce le are la îndemână dacă ar putea exista un arbore care să respecte toate restricțiile date de prietenul său.

Pentru că știe ce programator iscusit ești, Vlad ți-ar fi foarte recunoscător daca l-ai putea ajuta cu această problemă prin a scrie un program care să o rezolve cât mai eficient.