Lista de probleme 17

Se consideră N copii, numerotați de la 1 la N și fiecare face parte dintr-o clasă. Inițial sunt n clase și fiecare copil face parte din propria sa clasă. Se dau M operații de două tipuri:

• 1 x y – acțiune: clasele din care fac parte copiii cu numerele x și y se reunesc. Dacă x și y fac deja parte din aceeași clasă, operația nu se efectuează
• 2 x y – întrebare: copiii cu numerele x și y sunt sau nu în aceeași clasă?

Răspundeți la toate întrebările de al doilea tip, în ordinea acestora.

Fetiţele din grupa mare de la grădiniţă culeg flori şi vor să împletească coroniţe pentru festivitatea de premiere. În grădină sunt mai multe tipuri de flori. Fiecare dintre cele n fetiţe culege un buchet având acelaşi număr de flori, însă nu neapărat de acelaşi tip. Pentru a împleti coroniţele fetiţele se împart în grupe. O fetiţă se poate ataşa unui grup numai dacă are cel puţin o floare de acelaşi tip cu cel puţin o altă fetiţă din grupul respectiv.

Se consideră un graf neorientat cu n vârfuri și m muchii. Cele m muchii se elimină pe rând din graf. Pentru fiecare muchie eliminată trebuie să spuneți câte componente conexe are graful.

Cu ocazia sărbătoririi marii victorii de la ONI2017, cei 10 Bistrițeni au pornit la drum cu scopul de a-și întemeia o țară. După multe dezbateri, aceștia s-au hotărât să o numească Zoomba. Și au mers ei ce au mers, până au ajuns într-un ținut pustiu, iar atunci, marele Zoli a spus: “Și aici să fie întemeiată Zoomba!” (La început, Zoomba nu are niciun oraș). Iulia are sarcina de a construi orașele, iar Maria va construi drumurile ce vor conecta orașele. Astfel, se disting următoarele evenimente:

• 1: Iulia construiește un nou oraș. Dacă ultimul oraș construit este orașul x, atunci noul oraș va fi x + 1 (Dacă nu există niciun oraș în acel moment, atunci noul oraș construit va fi 1).
• 2 x y c: Maria propune construcția unui drum bidirecțional ce leagă orașul x de orașul y de cost c.
• 3 x: Zoli se întreabă care este costul minim pentru a lega un număr maxim de orașe (folosind drumurile propuse de Maria) cu scopul construirii unui județ (un județ este o grupare de orașe în care se poate ajunge din orice oraș în orice alt oraș) ce conține orașul x.

Scrieți un program care procesează M evenimente de tipurile precizate mai sus, și afișează în fișierul de ieșire rezultatele evenimentelor de tipul 3.

Se dau n puncte în plan, coordonatele punctului i fiind (\({x}_{i}\), \({y}_{i}\)). O operație constă în alegerea unui triunghi dreptunghic din plan și adăugarea unui punct, astfel încât cele 3 puncte alese și cel adăugat să formeze un nou dreptunghi. Aflați numărul maxim de operații care se pot efectua.

Se consideră un graf cu N noduri numerotate de la 1 la N și M operații de trei tipuri:

• 1 x y – se adaugă în graf muchia (x, y). Dacă muchia există deja, operația nu se efectuează
• 2 x y – întrebare: nodurile x și y se află sau nu în aceeași componentă conexă?
• 3 – care este numărul maxim de noduri dintr-o componentă conexă?

Trebuie să răspundeți la toate întrebările de tip 2 și 3.

Fie un șir a = a1, a2, …, aN de numere naturale, nu neapărat distincte, cuprinse între 1 și N. Fie de asemenea două numere naturale x și y. Se definește operația transform(i) astfel: se determină valoarea w = 1 + (x * i + y * ai) mod N, apoi toate elementele egale cu ai din secvența ai, ai+1, …, aN își modifică valoarea în w. După fiecare operație de tip transform se calculează suma elementelor șirului obținut. Să se determine suma maximă care s-a obținut în șirul a efectuând pe rând asupra șirului operațiile transform(1), transform(2), …, transform(N).

K.L. 2.0 și-a dorit o piscină pe un grid A cu N linii și M coloane. Cum K.L. 2.0 nu a fost foarte inspirat, el a uitat să își niveleze terenul înainte de a construi piscina, astfel încât fiecare celulă de coordonate (i, j) a gridului are o înalțime Ai,j (1 ≤ i ≤ N și 1 ≤ j ≤ M). La un moment dat începe o ploaie puternică, care umple piscina cu apă. După terminarea ploii, K.L. 2.0 se întreabă câtă apă are în piscină.

Dintr-o celulă apa se varsă în celulele vecine cu care are o latură comună şi care au înălţimea strict mai mică decât celula curentă. Apa de pe marginea piscinei se scurge în exterior.

Pentru N, M și gridul A date, să se determine volumul de apă care a rămas în piscină.

Cătălin avea un singur prieten dar, fiind foarte sociabil, el se împrietenește automat cu toți prietenii prietenului său și cu prietenii prietenilor acestuia ș.a.m.d. (s-a inspirat din modelul Facebook).

Inițial, în grupul de persoane, nimeni nu are prieteni dar, pe parcursul timpului, se leagă noi relații de prietenie.

Definim două tipuri de operații:

• 1 x y – ce reprezintă faptul că x se împrietenește cu y.
• 2 p – Cătălin vă întreabă care este numărul de prieteni pe care îi poate avea, dacă inițial ar fi prieten doar cu p. Se va ține cont doar de relațiile de prietenie stabilite până în acel moment.

După o confruntare eroică, Trump a fost ales democratic președintele unei republici prospere, TrumpLandia. Natural, prima sa prioritate e să construiască o rețea de buncăre, pentru a veni în întâmpinarea unui atac al vecinilor imperaliști.
N buncăre au fost deja construite. Trump trebuie să aleagă între M posibile rute bidirecționale pentru a le conecta. Un plan de conectare este alcătuit dintr-un subset minim de astfel de legături, astfel încât din fiecare locație să se poată ajunge în orice altă locație. Costul unui plan este dat de suma distanțelor legăturilor.

Deoarece rutele sunt vulnerabile la bombardamente aeriene, Trump vă cere să estimați un plan de cost minim. În plus, Trump vă cere să calculați Q soluții de rezervă, pentru situația în care una dintre cele M legături este sigur inclusă în plan.