Lista de probleme 10

Harta unei regiuni este reprezentată într-un sistem de coordonate cartezian și sunt cunoscute coordonatele a n orașe, numerotate de la 1 la n.

Se dorește construirea unor drumuri bidirecționale între anumite perechi de orașe, astfel încât:

• să se poate ajunge din orice oraș în oricare altul folosind unul sau mai multe dintre drumurile construite;
• suma lungimilor drumurilor construite să fie minimă.

Să se determine suma lungimilor drumurilor construite.

Se dă un graf neorientat ponderat conex cu n vârfuri și m muchii – în care fiecare muchie are asociat un cost, număr natural strict pozitiv. Folosind algoritmul lui Kruskal, determinați un arbore parțial de cost minim.

Orașul Kruskal are n intersecții unite prin m străzi bidirecționale. Datorită ninsorii de peste noapte, străzile sunt acoperite cu zăpadă. Administratorul orașului, Gigel, a determinat cu mari eforturi pentru fiecare stradă costul deszăpezirii ei și acum dorește deszăpezirea unor străzi astfel încât costul total al deszăpezirii lor să fie minim, și să se poată circula între oricare două intersecții pe străzi deszăpezite.

Maleficul Costel îl forțează pe Gigel să deszăpezească numite străzi, din motive doar de el știute. Ajutați-l pe Gigel să determine costul minim pentru deszăpezirea orașului, astfel încât să fie deszăpezite străzile dorite de Costel și să se poată circula între oricare două intersecții pe străzi deszăpezite.

Personajul acestei probleme este Lucian. Lucian locuiește în tara lui Verde Împărat, această tară având n orașe, numerotate de la 1 la n. Cum în orice poveste cu împărați există și o prințesă, și în problema noastră avem o prințesă, să o numim Maria. Maria este fiica lui Verde Împărat și în același timp prietena lui Lucian.

În tara lui Verde Împărat se apropie sărbătorile, iar ca să fie sigur de un nou mandat, împăratul a promis că va repara câteva drumuri, astfel încât să se poată ajunge din orice oraș, în oricare alt oraș, mergând doar pe drumuri care nu sunt stricate. Fiecare drum care este stricat are un cost de reparație , și având în vedere că se apropie sărbătorile, Împăratul ar vrea să repare drumurile optim, astfel încât să obțină un cost cât mai mic. Știind că Lucian vrea să-i ceară mâna Mariei, Împăratul i-a încredințat lui Lucian această sarcină, iar în cazul în care nu va putea să o îndeplinească îl va izgoni din tară. Lucian nu a fost prezent mai deloc la orele de algoritmică din liceu și vă cere vouă ajutorul pentru această problema complicată. Având la dispoziție lista drumurilor, precum și lista drumurilor stricate, voi trebuie să-i spuneți lui Lucian care este suma minimă pe care trebuie să o folosească pentru a se putea ajunge din orice oraș în oricare alt oraș.

Cu ocazia sărbătoririi marii victorii de la ONI2017, cei 10 Bistrițeni au pornit la drum cu scopul de a-și întemeia o țară. După multe dezbateri, aceștia s-au hotărât să o numească Zoomba. Și au mers ei ce au mers, până au ajuns într-un ținut pustiu, iar atunci, marele Zoli a spus: “Și aici să fie întemeiată Zoomba!” (La început, Zoomba nu are niciun oraș). Iulia are sarcina de a construi orașele, iar Maria va construi drumurile ce vor conecta orașele. Astfel, se disting următoarele evenimente:

• 1: Iulia construiește un nou oraș. Dacă ultimul oraș construit este orașul x, atunci noul oraș va fi x + 1 (Dacă nu există niciun oraș în acel moment, atunci noul oraș construit va fi 1).
• 2 x y c: Maria propune construcția unui drum bidirecțional ce leagă orașul x de orașul y de cost c.
• 3 x: Zoli se întreabă care este costul minim pentru a lega un număr maxim de orașe (folosind drumurile propuse de Maria) cu scopul construirii unui județ (un județ este o grupare de orașe în care se poate ajunge din orice oraș în orice alt oraș) ce conține orașul x.

Scrieți un program care procesează M evenimente de tipurile precizate mai sus, și afișează în fișierul de ieșire rezultatele evenimentelor de tipul 3.

Arhipelagul Zopopan este format din n insule de formă triunghiulară numerotate de la 1 la n. Fiecare insulă este localizată prin coordonatele carteziene ale vârfurilor.

Administrația dorește să cumpere elicoptere pentru a realiza transportul între insule. Un elicopter va putea să asigure o rută între două insule pe distanța minimă obținută pe orizontală sau verticală (paralel cu axele de coordonate). În plus, datorită capacității rezervorului o astfel de rută nu poate să depășească o valoare k – număr natural. Elicopterele parcurg rutele în ambele sensuri.
Investiția trebuie să îndeplinească următoarele condiții:

1. Numărul de elicoptere cumpărate să fie minim.
2. Numărul de perechi de insule între care se poate realiza transportul, folosind unul sau mai multe elicoptere să fie maxim.
3. Suma lungimii tuturor rutelor să fie minimă.

Să se scrie un program care pentru n, k şi coordonatele vârfurilor insulelor cunoscute, determină:

1. numărul minim de elicoptere ce vor fi cumpărate de administraţie;
2. numărul perechilor neordonate de insule între care se poate realiza transportul prin elicoptere direct sau indirect;
3. suma distantelor parcurse de toate elicopterele cumpărate (distanța parcursă de un elicopter se consideră distanța dintre insulele între care acesta asigură transportul).

După o confruntare eroică, Trump a fost ales democratic președintele unei republici prospere, TrumpLandia. Natural, prima sa prioritate e să construiască o rețea de buncăre, pentru a veni în întâmpinarea unui atac al vecinilor imperaliști.
N buncăre au fost deja construite. Trump trebuie să aleagă între M posibile rute bidirecționale pentru a le conecta. Un plan de conectare este alcătuit dintr-un subset minim de astfel de legături, astfel încât din fiecare locație să se poată ajunge în orice altă locație. Costul unui plan este dat de suma distanțelor legăturilor.

Deoarece rutele sunt vulnerabile la bombardamente aeriene, Trump vă cere să estimați un plan de cost minim. În plus, Trump vă cere să calculați Q soluții de rezervă, pentru situația în care una dintre cele M legături este sigur inclusă în plan.

După ce eroii ninja l-au învins pe Nadakhan, de ziua celor dispăruți Zane trebuia să păzească cele n păpuși din muzeu. Între aceste păpuși există m coridoare pe care se poate circula în ambele sensuri. Se garantează faptul că pe cele m coridoare Zane poate ajunge la fiecare dintre cele n păpuși. Skulkiu, având la dispoziție 5 tipuri de obstacole A, B, C, D, E, încearcă să-l oprească pe Zane punând pe fiecare coridor câte 4 obstacole. Zane poate distruge obstacolele de tip A, B, C și D, dar nu poate să distrugă obstacolele de tipul E. Pentru a distruge un obstacol de tipul A arma lui Zane are nevoie de 1 unitate de energie, pentru a distruge un obstacol de tipul B de 2 unități de energie, pentru a distruge un obstacol de tipul C de 3 unități de energie, iar pentru a distruge un obstacol de tipul D de 4 unități de energie. Datorită dispozitivului cu care Skulkiu amplasează obstacolele pe coridor, cele patru obstacole de pe acelaşi coridor au o adâncime din ce în ce mai mare, ceea ce implică faptul că pentru a distruge al doilea obstacol amplasat pe coridor este nevoie de 5 ori mai multă energie decât cea obișnuită, pentru a distruge cel de-al treilea obstacol amplasat pe coridor este nevoie de 25 ori mai multă energie decât cea obișnuită, iar pentru a distruge al patrulea obstacol amplasat pe acelaşi coridor este nevoie de 125 de ori mai multă energie decât cea obișnuită. Indiferent de sensul de parcurgere al coridorului de către Zane pentru a înlătura obstacolele, energia consumată este aceeaşi, aceasta depinzând doar de ordinea în care au fost amplasate obstacolele de către Skulkiu. Zane nu va înlătura obstacolele de pe toate coridoarele ci doar strictul necesar pentru a avea acces la fiecare păpușă. Zane dorește să-i lase pe ceilalți ninja să se antreneze așa că face în așa fel încât ajutorul pentru distrugerea obstacolelor de tip E să fie minim și apoi ca el să utilizeze un număr minim de unități de energie. Pentru coridoarele pe care se află obstacole de tip E Zane consumă energie doar pentru obstacolele de tip A, B, C şi D. Inițial Zane se află lângă păpușa 1.

Cerințe:

1. Precizați la câte dintre cele n păpuși poate ajunge Zane înainte de a cere ajutorul celorlalți ninja.
2. Precizați pentru eliberarea câtor coridoare trebuie să ceară ajutor extern pentru a reuși să ajungă la toate cele n păpuși și câte obstacole de tip E sunt în total pe aceste coridoare.
3. Precizați care este numărul minim de unități de energie utilizate.

Autorităţile dintr-o zonă de munte intenţionează să stabilească un plan de urgenţă, pentru a reacţiona mai eficient la frecventele calamităţi naturale din zonă. În acest scop au identificat N puncte de interes strategic şi le-au numerotat distinct de la 1 la N. Punctele de interes strategic sunt conectate prin M căi de acces având priorităţi în funcţie de importanţă. Între oricare două puncte de interes strategic există cel mult o cale de acces ce poate fi parcursă în ambele sensuri şi cel puţin un drum (format din una sau mai multe căi de acces) ce le conectează.
Autorităţile estimează gravitatea unei calamităţi ca fiind suma priorităţilor căilor de acces distruse de aceasta şi doresc să determine un scenariu de gravitate maximă, în care punctele de interes strategic să fie împărţite într-un număr de K grupuri.

Gustavo, după ce a realizat că posedă abilitatea de a vedea în viitor, a decis că a venit momentul să treacă la următorul nivel și să-și valorifice capacitățile extrasenzoriale. Pentru a câștiga prestigiu și a deveni mai cunoscut în rândurile magicienilor profesioniști, acesta a ales să debuteze la Olimpiada Națională de Informatică prin prezicerea datelor de intrare pentru anumite probleme propuse în concurs. Primul client al lui Gustavo, Alfredo, ar dori să afle într-un mod inedit conținutul unui fișier de intrare aferent unei probleme de concurs, în care sunt scrise elementele unui șir p de N numere întregi. Pentru a face lucrurile mai interesante, Gustavo îi percepe o taxă de C(i,j) bănuți pentru a-i divulga suma numerelor din șirul p cu indici în intervalul [i, j], anume pi + pi+1 + ... + pj. Dându-se valoarea lui N și toate valorile C(i,j) cu 1 ≤ i ≤ j ≤ N, determinați costul total minim pe care trebuie să-l plătească Alfredo pentru a afla toate elementele șirului p.