Lista de probleme 15

Fie N un numar natural și un șir de N numere naturale V[1], V[2], …, V[N]. Pentru M întrebări de forma (i,j), să se calculeze suma termenilor V[i], V[i + 1], …, V[j].

Gigel vrea un calculator nou care are prețul x. Tatăl acestuia, fiind profesor de matematica, i-a spus ca îi va cumpăra calculatorul dacă prețul x al acestuia este norocos. Un număr x este norocos dacă pătratul acestuia se poate scrie ca sumă de x numere consecutive. De exemplu, x = 7 este număr norocos deoarece, 7 * 7 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10.

Gigel a obţinut T oferte de preț și dorește să știe pentru fiecare dintre acestea dacă prețul este corespunzătoare restricției pe care i-a impus-o tatăl său.

În regatul lui Cătălin și al lui Sebi există 3 elfi magici, fiecare având vârsta formată dintr-o singură cifră. Fie aceste cifre x, y, z. Ei au aflat că se ține un sfat al bătrânilor în care pot participa doar elfii ale căror vârste sunt numere de 3 cifre. Pentru a fi şi ei prezenţi, cei trei elfi magici își folosesc puterile pentru a-și uni vârstele într-un singur număr de 3 cifre. Transformarea lor este perfectă doar dacă obţin, alăturând vârstele lor, un număr par de 3 cifre.

Să se afișeze câte transformări perfecte pot avea loc, alăturând cele trei vârste și cea mai mare valoare de trei cifre dintre aceste transformări perfecte. Dacă nu pot forma nici un număr par de trei cifre, elfii nu pot participa la sfat și se va afișa mesajul Poate data viitoare!.

Definim un număr ca fiind fantastic dacă numărul de numere la care acesta se împarte exact este un număr prim.

Dându-se un șir cu n numere întregi strict pozitive, să se afișeze numărul de numere fantastice din șir.

Pentru un număr oarecare X, natural, să se calculeze a X-a zecimală a numărului rațional \( \frac {1} {2 ^ X} \).

Pe o tablă de joc cu N linii și M coloane se află un roboțel pe poziția 1,1. El știe să meargă doar pe conturul tablei (prima și ultima linie, respectiv prima și ultima coloană). Robotul dorește să ajungă pe poziția N, M dar nu este așa simplu. Pe tabla de joc se află Q bare de lungimi infinite. Barele sunt fixate în colțul din dreapta jos a unor căsuțe. La început, o bară se poate afla fie în poziție verticală, fie în poziție orizontală. Robotul poate schimba orientarea acestor bare din poziție verticală în poziție orizontală și invers. El nu poate trece printr-o bară.
De exemplu, dacă avem N=4, M=4, Q=1 și bara se află la coordonatele 3,3 în poziție verticală, robotul nu poate ajunge la căsuțele de pe coloana 4. Dar dacă el învârte bara poate merge pe coloana 4, apoi pentru a merge pe linia 4 poate să învârtă bara din nou.

Această soluție nu este optimă deoarece robotul putea ajunge în poziția 4,4 învârtind o singură dată bara. Mai întâi se poziționează pe linia 4, apoi învârte bara și se duce pe coloana 4.

Să se afle numărul minim de rotiri ale barelor pentru ca robotul să ajungă din poziția 1,1 în poziția N,M, mergând numai în dreapta și în jos.

Războiul intergalactic a început, iar extratereștrii au invadat deja planeta noastră. Misiunea ta este să salvezi toți locuitorii planetei cât mai repede cu putință!

Într-un hambar vechi, ai găsit un robot proiectat special pentru amplasarea de bombe nucleare și totodată o hartă a planetei sub formă de dreptunghi împărțită în N x M zone pătratice dispuse pe N linii și M coloane, de dimensiune 1. Pe hartă sunt reprezentate și pozițiile extratereștrilor (xi,yi), unde xi reprezintă indicele de linie, iar yi reprezintă indicele de coloană al extraterestrului i. De asemenea, robotul poate amplasa bombe în orice poziție de pe hartă, iar la declanșarea lor, acestea distrug orice extraterestru de pe aceeași linie sau de pe aceeași coloană cu ele.

Din păcate, robotul nu este echipat decât cu o singură bombă. Datoria ta este să-i transmiți robotului coordonatele x y unde să amplaseze bomba, astfel încât toți extratereștrii să fie distruși. Poți să salvezi planeta? Timpul se scurge! Tic, tac, tic, tac…

Chris vă propune un joc cu becuri.

• în joc sunt n becuri
• inițial toate cele n becuri au culoarea albastru
• fiecare bec poate avea doar două culori: roșu sau albastru
• se efectuează n parcurgeri, pentru k de la 1 la n. La parcurgerea de rang k, se schimbă culoarea fiecărui bec situat pe poziţii având indicii multipli de k, din roşu în albastru şi invers.

Știind numărul n de becuri, să se afișeze numărul de becuri care au culoarea roșie după terminarea jocului.

Gigel se plimbă pe o stradă pe care a mai fost de mai multe ori. El se plictisește și se gândește să citească numerele caselor și în ordinea inversă a cifrelor. Nu trece mult timp și Gigel observă că unele numere au o proprietate specială, sunt identice oricum ar fi citite. Astfel el se gândește să afle câte numere de pe acea stradă sunt citite identic din ambele sensuri (de la stânga la dreapta și de la dreapta la stânga).

Fiind dat n numărul de case şi un șir de n valori naturale, reprezentând numerele inscripţionate pe cele n case, aflați numărul de numere care au proprietatea specială.

În banca lui Cătălin există un seif special unde Moș Crăciun își ține ascunse cadourile pentru copiii cei cuminți. Fiind vorba de o persoană așa de importantă, codul seifului nu este unul ușor. Moșului îi este dat un cartonaș cu n numere pe care le parcurge, în ordine, de la al doilea la penultimul, şi verifică pentru fiecare număr dacă cei 2 vecini sunt ori divizori ori multipli ai acestuia. Dacă da, va șterge primul triplet care respectă această regulă (numărul şi vecinii săi), formându-se un nou cod pentru care se reia de la început aplicarea regulii, până când nu mai există pe cartonaș niciun număr care să respecte proprietatea de eliminat.

La final se vor obține valorile corecte ale codului, care vor fi introduse în ordinea apariției lor sau, în cazul în care s-au șters toate numerele de pe cartonaș, atunci codul va fi mesajul preferat folosit de Moș Crăciun: Merry Christmas.

Date fiind cele n numere de pe cartonaş, Moșul vă roagă să aflați codul de care are nevoie pentru a putea deschide seiful în seara de ajun.