Lista de probleme 9

Se dau N numere naturale a[1], a[2], ..., a[N] şi un număr natural nenul M. Să se determine numărul perechilor de indici (i, j), cu i < j, cu proprietatea că numărul a[i]*a[j]+a[i]+a[j] este divizibil cu M.

Ian este un copil pasionat de muzică, așa că părinții săi i-au cumpărat de ziua lui un pian. Pianul lui Ian este mai special, acesta are N clape. Întrucât pianul nu este nou, clapele se mișcă mai greu, astfel apăsarea celei de-a i-a clape durează t[i] secunde. Deoarece Ian este foarte nerăbdător, s-a hotarât să repare clapele pianului pentru ca apăsarea unei clape să fie cât mai rapidă. Acesta poate selecta două clape vecine i și i+1 ce necesită t[i], respectiv t[i+1] secunde pentru a fi apăsate și le lustruiește. În urma lustruirii, cele două clape vor necesita doar cmmdc(t[i],t[i+1]) secunde pentru apăsarea fiecăreia. Practic, o operație va efectua următoarea transformare asupra clapelor: t[i] = t[i + 1] = cmmdc(t[i], t[i+1]).

• Cerința 1: Ian vrea să facă un riff (adică să apese fiecare clapă o singură dată) și vrea să știe care ar fi durata de timp a unui riff pe pianul lustruit.
• Cerința 2: Pentru că Ian nu are timp de pierdut cu lustruitul, acesta vrea o listă de instrucțiuni de lungime minimă asfel încât dupa efectuarea instrucțiunilor pianul să fie lustruit.

Fie x un număr real subunitar cu cel mult 9 zecimale și N un număr natural. Să se determine fracția ireductibilă \( \frac{a}{b} \) cu proprietățile:

• aproximează cel mai bine numărul real x, adică expresia \( |x-\frac{a}{b}| \) are valoare minimă
• 1 ≤ b ≤ N

Se consideră N șiruri de caractere, fiecare șir având lungimea N. Șirurile conțin caractere din mulțimea {a, b, ..., z, #}. Putem privi cele N șiruri ca o matrice pătratică de N x N caractere. Să se determine numărul total al romburilor corect formate precum și latura celui mai mare romb care se poate construi în matrice astfel încât acesta să aibă în cele patru colțuri caracterul #, fiecare latură a perimetrului rombului să conțină cel puțin o vocală, iar restul caracterelor care alcătuiesc rombul să fie diferite de caracterul #.

Se dă un șir S format din litere mici ale alfabetului englez. O secvență din şir este palindromică dacă prin parcurgerea sa de la dreapta la stânga se obține același cuvânt precum la parcurgerea de la stânga la dreapta. Se formulează m întrebări de forma i, j, k cu semnificația: pornind de la secvența formată din caracterele dintre indicii i și j inclusiv și având posibilitatea să o extindem în total cu maximum k caractere în S (imediat în stânga poziției i și/sau imediat în dreapta poziției j), putem să obținem o secvență palindromică?

Fetiţele şi băieţii Powerpraff s-au aşezat într-un şir s de lungime K, ei fiind reprezentaţi în şir prin caracterele f şi b. Cum până la apariţia noilor episoade s-a descoperit şi clonarea, acest şir a fost multiplicat de N ori, iar şirul nou obţinut, de lungime N x K, se aşează în ordine, pe linii de câte D caractere. Doi băieţi sunt prieteni dacă se învecinează pe orizontală sau verticală în noua aşezare pe linii. Doi băieţi Bx şi By sunt în aceeaşi gaşcă dacă sunt prieteni sau dacă există un şir de băieţi B1, B2, …, Bm (eventual m poate fi şi 0) astfel încât în şirul Bx, B1, B2, …, Bm, By oricare doi băieţi alăturaţi sunt prieteni. O gaşcă poate fi formată din cel puţin un băiat. Cunoscând valorile lui K, N şi D, precum şi caracterele din şirul s, aflaţi numărul de găşti care se pot forma, ştiind că fiecare băiat face parte dintr-o singură gaşcă.

În sistemul de axe xOy se consideră N etajere fixate paralel cu axa Ox. Etajerele sunt descrise prin tripletul de numere naturale nenule: x1 x2 y, unde x1, x2 – reprezintă extremitățile stânga, respectiv dreapta ale etajerei, iar y e înălțimea la care etajera este fixată. Etajerele nu se suprapun (nu au puncte comune). Dintr-un punct de coordonate întregi (X, Y), superior tuturor etajerelor, curge apă de la un robinet. Dacă apa ajunge pe o etajeră, aceasta se prelinge pe etajeră spre extremități. Astfel, dacă apa atinge etajera descrisă prin (x1, x2, y), aceasta se deplasează în ambele sensuri către extremitățile etajerei de unde va cădea vertical pe direcțiile x1, respectiv x2, până când atinge fie o altă etajeră, fie podeaua (y = 0). Să se determine:
a) câte etajere nu sunt atinse de apă (nu sunt umede)
b) numărul maxim de etajere ce au fost umezite, aflate pe o aceeași axă verticală paralelă cu Oy.

Se dau N numere naturale nenule a[1], a[2], …, a[N]. Să se construiască un număr minim folosind toate cifrele numerelor date astfel încât șirul cifrelor fiecărui număr să apară ca subșir în numărul minim construit.

Bob Ross este foarte faimos pentru picturile sale în ulei cu peisaje muntoase. Astăzi s-a hotărât să picteze o nouă operă, dar va aborda procesul său de creație într-un mod inedit. Bob dispune de N puncte pe o pânză infinită, al i-lea punct având coordonatele (x[i], y[i]). Punctele au proprietatea că x[i] < x[i+1]. El își va alege un număr de puncte și pentru fiecare punct ales i, va colora segmentele dintre perechile de puncte (i - 1, i) și (i, i+1). Inițial, Bob are o pensulă cu o cantitate V de vopsea. Cantitatea de vopsea necesară pentru a colora un segment este egală cu pătratul lungimii acelui segment, iar după colorare cantitatea de vopsea de pe pensulă scade cu această valoare. Bob s-a gândit la următoarele K scenarii. Dacă la scenariul i ar avea o pensulă cu o cantitate V[i] de vopsea, care este numărul maxim P[i], astfel încât oricum am alege P[i] puncte, să poată colora toate segmentele adiacente acelor puncte?