Lista de probleme 31

Popel, elev de liceu calificat la barajul pentru Lotul Național de Informatică, tocmai a învățat ciurul lui Eratostene, pentru aflarea numerelor prime, al cărui algoritm este descris astfel:

prim[i]=1, oricare ar fi i de la 2 la N
pentru i de la 2 la N:
	dacă prim[i] este 1:
		pentru j de la 2*i la N din i în i:
			prim[j] = 0

Din cauza oboselii și a stresului, Popel a inițializat greșit șirul prim, punând pe unele poziții 0 în loc de 1. După ce a executat algoritmul pe șirul prim greșit inițializat, a obținut un nou șir pe care l-a notat pe o foaie de hârtie. Mai târziu, nu își mai amintea șirul inițial prim, dar mai avea șirul final pe care l-a obținut. În plus, nu mai era sigur dacă unele valori din șirul final le-a notat corect, așa că le-a marcat cu caracterul "?". Popel vă roagă să aflați un șir inițial cu proprietatea că dacă ar executa algoritmul de mai sus asupra lui, ar obține un șir care s-ar potrivi cu șirul final notat pe foaie. De asemenea, el își dorește ca șirul inițial să aibă un număr cât mai mare de cifre de 1.

Fermierul Quinto are o livadă plină cu pomi fructiferi. Livada are N rânduri, numerotate de la 1 la N, pe fiecare rând aflându-se câte M pomi fructiferi, numerotaţi de la 1 la M. Livada lui Quinto este una specială, aşa că pentru unii pomi se cunoaşte cantitatea de fructe (exprimată în kg) care poate fi culeasă, iar pentru alţii aceasta poate fi determinată pe baza unei formule. Quinto şi-a propus să recolteze C kg de fructe din pomii aflaţi în livada lui. Acesta foloseşte un utilaj modern pentru culesul fructelor. Utilajul poate fi folosit pe oricare din rândurile livezii, dar poate aduna doar fructele dintr-un şir consecutiv de pomi, începând cu primul pom de pe rândul respectiv, neavând posibilitatea de a culege parţial fructele dintr-un pom. Preocupat de frumuseţea livezii sale, Quinto s-a gândit la restricţii suplimentare pentru recoltarea cantităţii C de fructe. Astfel, el doreşte să adune fructele din pomi de pe maximum R rânduri diferite, pentru ca N-R rânduri să rămână complete. De asemenea, el doreşte să culeagă cu prioritate pomii care au o cantitate cât mai mică de fructe, pentru ca în livadă să rămână cei mai roditori pomi. Quinto şi-a dat seama că este dificil să culeagă fix C kg de fructe, prin urmare este mulţumit şi cu o cantitate mai mare, care respectă celelalte condiţii impuse de el.

Determinaţi cea mai mică valoare X posibilă astfel încât să se poată culege, în condițiile de mai sus, o cantitate de cel puțin C kg de fructe și orice pom din care se culeg fructe să conțină cel mult X kg de fructe.

Tudor a primit un joc educaţional numit “Roboţel” cu ajutorul căruia va învăţa punctele cardinale Nord, Est, Sud, Vest. Jocul constă dintr-un roboţel care se deplasează pe o tablă de forma unei matrici pătratice, împărţită în R linii şi R coloane. Fiecare căsuţă, aflată la intersecţia dintre o linie şi o coloană, este fie căsuță „liberă”, fie căsuță „semnalizator”, caz în care este etichetată cu una din literele N, E, S, V, reprezentând 4 sensuri posibile de deplasare. Când roboțelul ajunge într-o „căsuţă semnalizator”, el îşi schimbă sensul de deplasare astfel:

• Dacă căsuţa este etichetată cu N atunci roboţelul se va deplasa în continuare de jos în sus;
• Dacă căsuţa este etichetată cu E atunci roboţelul se va deplasa în continuare de la stânga la dreapta;
• Dacă căsuţa este etichetată cu S atunci roboţelul se va deplasa în continuare de sus în jos;
• Dacă căsuţa este etichetată cu V atunci roboţelul se va deplasa în continuare de la dreapta la stânga.

Două căsuțe semnalizator formează o pereche „blocantă” dacă:

• Se află pe aceeași linie și conțin literele E și V, căsuța cu E are coloana mai mică decât a celei etichetate cu V și între ele, pe aceeași linie nu există alte căsuțe semnalizatoare.
• Se află pe aceeași coloană și conțin literele S și N, căsuța cu S are linia mai mică decât a celei etichetate cu N și între ele, pe aceeași coloană nu există alte căsuțe semnalizatoare.

În figura 1, de exemplu, sunt 2 perechi blocante: Perechea (1,2) (5.2) și perechea (2,3) (2,5).

Roboţelul porneşte din căsuţa (1,1), aflată pe prima linie și prima coloană şi dacă aceasta este liberă, se deplasează, în cadrul primei linii, de la stânga la dreapta. În cazul în care căsuța de pornire (1,1) este semnalizator, atunci roboțelul se va deplasa pe direcția indicată de litera cu care este etichetată. Considerând că roboțelul se deplasează pe tablă, el se oprește doar în următoarele situații:

• Roboţelul intră într-o căsuţă liberă aflată pe prima sau ultima linie, respectiv prima sau ultima coloană, caz în care dacă s-ar menține sensul deplasării actuale roboțelul ar părăsi tabla;
• Roboțelul intră într-o „căsuţă semnalizator” a unei perechi blocantă și se va opri în cealaltă căsuță a perechii.

De exemplu, în Figura 2, roboțelul ajunge în căsuța liberă (3,5) unde se oprește. În Figura 3, roboțelul se va opri în căsuța (4,1) deoarece dacă ar schimba sensul spre Est, ar reveni în ultima căsuță semnalizator vizitată, (4,3).
Roboțelul înaintează o căsuță într-un pas, în sensul de deplasare.

Scrieţi un program care, cunoscând numărul R de linii şi coloane și cele K căsuţe semnalizator, determină:

1. Toate perechile blocante de pe tablă;
2. Numărul de pași efectuați pe fiecare sens în parte: Nord, Est, Sud și Vest

Pietrele preţioase au fascinat omenirea încă din timpuri străvechi iar cele mai renumite dintre ele, cristalele, au devenit atât simbolul durităţii cât şi al eternităţii. În urma unui studiu ştiinţific, pe un eşantion de formă dreptunghiulară se pot observa diferite tipuri de molecule, dispuse într-o geometrie perfectă, pe M rânduri a câte N molecule fiecare, aliniate una lângă alta. O formaţiune cristalizabilă este alcătuită din 3 molecule de acelaşi tip, învecinate două câte două, având una dintre cele patru forme din imaginea alăturată (fig.1).

Fiecare formaţiune este înconjurată de jur-împrejur, ca în fig.2, de un înveliş special format şi el din molecule identice, de alt tip decât cele din formaţiunea cristalizabilă pe care o înconjoară şi o izolează de restul formaţiunilor moleculare. În acest fel, fiecare moleculă din formaţiunea cristalizabilă se învecinează la Nord, Sud, Est şi Vest cu o moleculă din aceeaşi formaţiune cristalizabilă sau cu o moleculă din învelişul special.

Fiecare formaţiune cristalizabilă se bombardează cu raze X şi în acest fel are loc cristalizarea, proces prin care învelişul special se extinde peste formaţiunea cristalizabilă pe care o înconjoară, formând o singură structură din care se va dezvolta cristalul.

Cerințe

1. Determinaţi numărul formaţiunilor cristalizabile ce pot fi identificate pe eşantionul analizat.
2. Afişaţi eşantionul rezultat după cristalizare.

În vremuri străvechi Pământul era locuit de către o civilizaţie neobişnuită condusă după reguli matematice foarte riguroase. Această civilizaţie era formată din mai multe oraşe-stat asemeni oraşelor antice. Fiecare oraş s-a dezvoltat treptat pornind de la un singur cartier de formă pătrată cu suprafaţa de un hectar, în jurul căruia se adăugau în fiecare an cartiere de câte un hectar fiecare în felul următor: în primul an s-a format cartierul iniţial, în al doilea an oraşul s-a extins formând patru noi cartiere în toate cele patru puncte cardinale, în anul următor oraşul s-a extins cu 8 noi cartiere dispuse în jurul cartierelor deja formate, şi aşa mai departe, în fiecare an oraşul extinzându-se cu încă un rând de cartiere. Cerințe:

1. Dimensiunea suprafeţei (în hectare) pe care ar ocupa-o după t ani, dacă nu ar întâlni nici un alt oraş şi nici nu ar ajunge la marginea hărţii.
2. Timpul scurs până când toate cele N oraşe şi-au încetat extinderea, începută din cartierele iniţiale ale căror coordonate se citesc din fişier, şi aria suprafeţei din hartă rămasă neocupată, exprimată în hectare.

Fie un șir de numere naturale nenule a[1], a[2], …, a[n] și un număr natural k. Să se determine un grup de k numere din șir care au proprietatea că cel mai mare divizor comun al lor este maxim. Dacă există mai multe astfel de grupuri, se cere acel grup pentru care suma elementelor este maximă.

Un număr natural nenul m se numește norocos dacă pătratul lui se poate scrie ca sumă de m numere naturale consecutive. Un număr natural m se numește k-norocos, dacă este egal cu produsul a exact k numere prime distincte. Observați că între cele două proprietăți definite nu există nicio legătură.

Dându-se k și N numere naturale, scrieți un program care să determine:

a) Cel mai mic și cel mai mare număr norocos dintre cele N numere citite
b) Câte numere k-norocoase sunt în șirul de N numere citite

Arhi şi-a propus să extindă clădirea de birouri pe care a proiectat-o iniţial pe un singur nivel numerotat cu 1, împărţit în n*n zone pătratice de latură 1, fiecare corespunzând unui birou, prin construirea mai multor niveluri. În colţurile tuturor birourilor se construiesc grinzi de rezistenţă. Pentru a asigura rezistenţa întregii clădiri, Arhi va proiecta niveluri noi, numerotate cu 2, 3,… atât timp cât conțin cel puțin un birou și sunt respectate următoarele patru reguli:

• R1: fiecare nivel nou va fi proiectat sub forma unui dreptunghi sau pătrat de arie maximă pentru nivelele cu număr impar, respectiv, sub forma unui pătrat de arie maximă pentru nivelele cu număr par;
• R2: fiecare dintre colţurile zidurilor unui nivel nou trebuie plasat pe câte o grindă de rezistenţă dintre două sau mai multe birouri de pe nivelul precedent;
• R3: oricare două dintre colţurile zidurilor unui nivel nou vor fi plasate pe ziduri diferite (un zid nu se poate suprapune în totalitate pe alt zid) şi cel puţin două vârfuri opuse ale unui nivel nou se vor afla pe ziduri opuse ale nivelului precedent;
• R4: orice porţiune de zid de pe nivelul k (k>1), construită deasupra unui birou de pe nivelul k-1, se va suprapune exact peste una dintre laturile biroului, sau îl va străbate în diagonală.

Birourile de pe nivelul k (k>1), vor fi construite exact deasupra celor de pe nivelul precedent, astfel, nivelurile 2, 4 etc. vor avea lângă ziduri spaţii triunghiulare care nu vor aparţine niciunui birou.

Numerele inscripţionate pe birouri în imaginea de mai sus, indică nivelul corespunzător birourilor vizibile de deasupra clădirii.

Cunoscându-se lungimea n a laturii primului nivel al clădirii, să se determine:

1. numărul maxim de niveluri pe care le poate avea clădirea;
2. numărul total de birouri ale clădirii cu număr maxim de niveluri.

Sandu a studiat la ora de informatică mai multe aplicații cu vectori de numere naturale, iar acum are de rezolvat o problemă interesantă. Se dă un șir X=(X[1],X[2],…,X[n]) de numere naturale nenule și două numere naturale p1 și p2, unde p1<p2. Sandu trebuie să construiască un nou șir Y=(Y[1],Y[2],…,Y[n*n]) cu n*n elemente obținute din toate produsele de câte două elemente din șirul X (fiecare element din șirul Y este de forma X[i]*X[j], 1<=i, j<=n). Sandu are de calculat două valori naturale d1 și d2 obținute din șirul Y. Valoarea d1 este egală cu diferența maximă posibilă dintre două valori ale șirului Y. Pentru a obține valoarea d2, Sandu trebuie să considere că șirul Y are elementele ordonate descrescător iar d2 va fi diferența dintre valorile aflate pe pozițiile p1 și p2 în șirul ordonat descrescător. Sandu a găsit rapid valorile d1 și d2 și, pentru a le verifica, vă roagă să le determinați și voi.

Dându-se șirul X cu n elemente și valorile p1 și p2, determinați valorile d1 și d2.

Am un cablu cu N leduri (numerotate de la 1 la N) aşezate echidistant. Inițial, unele leduri sunt aprinse, iar altele sunt stinse. Ledurile sunt legate între ele astfel încât atingerea fiecărui led produce modificarea atât a stării lui, cât şi a ledurilor vecine lui. Deci, dacă se atinge ledul i (2≤i≤N-1) atunci se modifică stările ledurilor i-1, i și i+1. Dacă se atinge ledul 1, atunci se modifică stările ledurilor 1 și 2, iar dacă se atinge ledul N, atunci se modifică stările ledurilor N-1 și N. Vreau să modific starea ledurilor astfel încât să semene cu cablul cu N leduri pe care îl are Ionuț, prietenul meu (două cabluri seamănă dacă pentru orice i=1..N stările ledurilor de pe poziția i sunt identice).

Cunoscând cum arată cablul lui Ionuț, ajutați-mă să determin numărul minim de atingeri ale unor leduri astfel încât cablul meu să arate ca și cablul lui Ionuț.