Lista de probleme 242

Echipa spațială s-a deghizat în locuitorii unei planete înapoi, cunoscută sub numele de „Pământ”. În timpul șederii lor s-au interesat de muzica acestor așa-numiți oameni, în special a genului obscur cunoscut sub numele de “space jazz”. În loc să fie jucat la o scară obișnuită, se joacă pe space jazz, o scară de 26 de note, etichetate de la “a” la “z”. Un compozitor de space jazz scrie o piesă de space jazz așa cum urmează să fie descris. Începe cu o foaie goală de hârtie. Apoi alege o anumită notă de la “a” la “z” și scrie nota de două ori. Apoi alege în mod repetat o nouă notă (ar putea fi aceeași sau diferită de cea anterioară) și o scrie de două ori între două note adiacente sau lângă altă notă. De exemplu, un compozitor ar putea începe prin a scrie “gg”, apoi adaugă “oo” pentru a face “goog”, apoi adaugă “aa” pentru a face “aagoog” și așa mai departe. Problema este că toate spectacolele pe care le ascultă echipa spațială lasă afară note. Având în vedere notele jucate într-o reprezentație de space jazz, ajutați-i să-și dea seama numărul minim de note care au fost lăsate deoparte, având în vedere că original piesa a fost o compoziție valabilă de jazz spațial.

Se consideră un triunghi de numere naturale format din n linii.Prima linie conține un număr, a doua linie conține 2 numere, etc. ultima linie n, conține n numere. În acest triunghi se pot calcula diverse sume cu n elemente, astfel:

• termenul i al sumei se află pe linia i din triunghi
• pentru un anumit termen al sumei, termenul următor se află pe linia următoare și pe aceeași coloană, sau pe coloana imediat următoare spre dreapta.

Să se determine cea mai mare sumă care se poate obține în acest mod.

Se consideră o clădire de formă dreptunghiulară formată din n*m camere, dispuse pe n linii și m coloane. Intrarea în clădire este în camera de coordonate (1,1), iar ieșirea în camera de coordonate (n,m). Din orice cameră (i,j) se poate ajunge numai în camerele (i+1,j) sau (i,j+1). Determinați în câte moduri se poate ajunge din camera (1,1) în camera (n,m).

Deoarece numărul de posibilități poate fi foarte mare, se cere doar restul acestui număr la împărțirea cu 9901.

Se consideră un triunghi de numere naturale format din n linii.Prima linie conține un număr, a doua linie conține 2 numere, etc. ultima linie n, conține n numere. În acest triunghi se pot calcula diverse sume cu n elemente, astfel:

• termenul i al sumei se află pe linia i din triunghi
• pentru un anumit termen al sumei, termenul următor se află pe linia următoare și pe aceeași coloană, sau pe coloana imediat următoare spre dreapta.

Să se determine cea mai mică sumă care se poate obține în acest mod și numerele care o alcătuiesc.

Harta jocului PacmMan este sub forma unui dreptunghi împărțit în camere organizate pe linii și coloane. Din fiecare cameră se poate merge în camera situate pe coloana următoare și pe aceeași linie, sau in camera de pe coloana următoare și linia următoare, dar fără a ieși din hartă. Astfel din camera (i,j) se poate merge în camerele (i,j+1) și (i+1,j+1). PacMan se află în camera situată pe prima linie și pe prima coloana (1,1) și trebuie să ajungă în camera de pe ultima linie și ultima coloană (n,m). Calculați și afișați numărul de trasee pe care poate PacMan să parcurgă harta.

• se pleacă din ultimul element al ultimei linii
• se merge întotdeauna spre stânga pe aceeași linie sau pe linia de deasupra, adică de pe linia i și coloana j se merge pe linia i și coloana j-1 sau pe linia i-1 și coloana j-1.
• parcurgerile se termină pe prima coloană.

Să se determine cea mai mare sumă care se poate obține în acest mod.

Alice s-a pierdut din nou în labirint. Labirintul este de forma unui triunghi dreptunghic împărțit în camere organizate pe linii și coloane. Pe prima linie este o singură cameră, pe a doua sunt două camere, etc. Pe ultima linie sunt n camere. Din fiecare cameră se poate merge în camerele situate pe linia următoare și pe aceeași coloană, sau pe coloane cu 1 mai mari sau mai mici decât coloana curentă, dar fără să se părăsească labirintul. Astfel din camera (i,j) se poate merge în camerele (i+1,j-1), (i+1,j) și (i+1,j+1), dacă acestea există. Alice se află în camera de pe prima linia și de pe prima coloana (1,1).

Ca să iasă din labirint, Alice trebuie să ajungă într-o cameră de pe ultima linie. Calculați și afișați numărul de trasee pe care poate Alice să iasă din labirint.

Fermierul Gigel are o livadă cu peri de forma unui triunghi dreptunghic cu laturile de câte n peri fiecare și având perii organizați pe linii și coloane. Pe prima linie este un singur păr, pe a doua doi peri, etc. Pe ultima linie sunt n peri. Pentru fiecare păr se cunoaște numărul de pere din el. Hoțul Dorel intră în livada lui Gigel prin colțul stânga jos, adică prin primul element al ultimei linii. El se poate deplasa paralel cu rândurile de peri, adică cu liniile, respectiv cu coloanele livezii. Astfel, dintr-o poziție aflată pe linia i și coloana j, Dorel poate merge pe linia i-1 și coloana j sau pe linia i și coloana j+1. Ca să nu îl prindă Gigel, hoțul Dorel trebuie ia toate perele din perii de pe traseul pe care merge, să iasă pe la sfârșitul unei linii de peri și să fure un număr minim de pere (deoarece nu e lacom sau nu le poate duce și îl prinde Gigel).

Se consideră o clădire de formă dreptunghiulară formată din n*m camere, dispuse pe n linii și m coloane. Unele camere sunt închise, accesul în ele fiind imposibil. Intrarea în clădire este în camera de coordonate (1,1), iar ieșirea în camera de coordonate (n,m). Din orice cameră (i,j) se poate ajunge numai în camerele (i+1,j) sau (i,j+1), dacă aceasta nu este închisă.

Determinați în câte moduri se poate ajunge din camera (1,1) în camera (n,m). Deoarece numărul de posibilități poate fi foarte mare, se cere doar restul acestui număr la împărțirea cu 9901.

Bilbo Baggins a reușit să intre în Muntele Singuratic. În Muntele Singuratic este o rețea de n galerii numerotate de la 1 la n, fiecare galerie fiind împărțită în m camere numerotate de la 1 la m. Bilbo găsește o hartă a acestor galerii și vede că în fiecare din cele n*m camere se află o cantitate de aur. Bilbo a intrat prin prima cameră a primei galerii și conform hărții poate iesi doar prin ultima cameră a primei galerii.

Dintr-o cameră numerotatată (i,j) Bilbo se poate strecura fără a fi detectat de către Smaug doar în camerele numerotate cu (i-1,j+1), (i,j+1) și (i+1,j+1) fără a putea părăsi rețeaua de galerii decât prin camera (1,m).

Să se determine cantitatea maximă de aur pe care o poate colecta Bilbo din Muntele Singuratic.