Lista de probleme 17

Gigel, pasionat de numere, știe că orice număr natural se scrie într-o bază de numerație b ca o succesiune de simboluri care au asociate valori de la 0 la b-1. De exemplu numărul 7, scris în baza 10, se scrie în baza 2 ca 111(2), iar numărul 26732, scris în baza 10, se scrie în baza 37 ca o succesiune de 3 simboluri, primele două având asociată valoarea 19, iar ultimul având asociată valoarea 18. El a descoperit că există numere care au proprietatea că se scriu, în exact două baze diferite, prin exact trei simboluri identice. De exemplu, numărul 931(10) se scrie în baza 11 ca 777(11), iar în baza 30 se scrie 111(30). Fiind dat un număr natural N, să se determine cel mai mare număr natural mai mic sau egal cu N, care are proprietatea că se scrie în exact două baze diferite prin exact 3 simboluri identice.
1. Să se scrie numărul determinat
2. Să se scrie cele două baze determinate și valorile simbolurilor respective.

Împăratul cel bătrân vrea să împartă sacii cu galbeni din vistieria palatului celor K feciori ai săi, numerotați de la 1 la K în ordinea vârstei. Feciorul cu numărul 1 este cel mai mare, iar mezinul are numărul K. În vistierie sunt N saci plini cu galbeni, așezați în linie, atât de grei încât nu li se poate schimba ordinea, iar pe fiecare sac este scris numărul de galbeni pe care îi conține. Împăratul îl cheamă pe unul dintre feciori și îi spune: “Fiule, a ta este averea primilor x1 saci!”. Feciorul ia sacii și pleacă fericit. Apoi, împăratul cheamă alt fecior și îi spune: “Fiule, a ta este averea primilor x2 saci dintre cei rămași!”. Și așa mai departe, până ajunge la ultimul fecior chemat, căruia îi dă toți sacii rămași.
El nu are o ordine anume în care își cheamă feciorii dar are grijă să cheme fiecare fecior exact o dată. Totodată, pentru a evita certurile între ei, este atent ca fiecare fecior să primească cel puțin un sac cu galbeni, dar să NU primească în total mai mulți galbeni ca un frate mai mare decât el. Cel mai mic dintre feciorii împăratului este și cel mai viteaz, așa că împăratul ar vrea să îi dea lui o sumă de bani cât mai mare, fără a-i supăra pe ceilalți feciori ai săi. Cum ar putea împărți împăratul sacii?

Un număr natural n se numește putere dacă există două numere naturale a, b, a ≥ 1, b ≥ 2 astfel încât \(n = a^b\). De exemplu, numerele 32 , 169 , 1 sunt puteri (\(32 = 2^5\) , \(169 = 13^2\) , \(1 = 1^2\) ), iar 72 , 2000 și 31 nu sunt puteri.
Se citesc numerele naturale N , M și un șir de N numere naturale \(x_1, x_2, …, x_N\) din intervalul [1,M].

Pentru fiecare din cele N numere \(x_i\) determinați câte un număr natural \(r_i\) din intervalul [1,M], cu proprietatea că \(r_i\) este o putere și pentru orice altă putere p din intervalul [1,M] este îndeplinită condiția \(|x_i – r_i| ≤ |x_i – p|\), unde |x| reprezintă valoarea absolută a lui x (modulul).
Dacă există două puteri egal depărtate de \(x_i\) se va alege puterea cea mai mică. De exemplu pentru numărul 26, dintre puterile 25 și 27 va fi ales numărul 25.

Pe un teren de formă dreptunghiulară format din L linii și C coloane sunt plantate M mine. Liniile sunt numerotate de sus în jos cu valori de la 1 la L iar coloanele sunt numerotate de la stânga la dreapta cu valori de la 1 la C. Deoarece războiul s-a terminat, specialiștii vor să demineze terenul și să-l redea utilizării publice. Mutarea unei mine reprezintă operația de transfer a unei mine de la linia x1 și coloana y1 la o poziție liberă, dată de linia x2 și coloana y2, unde 1 ≤ x1, x2 ≤ L și 1 ≤ y1, y2 ≤ C. Deoarece mutarea unei mine este periculoasă, trebuie determinat numărul minim de mine care trebuie mutate din poziția inițială astfel încât toate minele de pe teren să fie așezate unele lângă altele într-o zonă compactă dreptunghiulară, oriunde în cadrul terenului dat, pentru ca apoi să fie detonate împreună.

Cunoscând numărul de linii L și de coloane C ale terenului minat, numărul de mine M, precum și poziția fiecărei mine, să se scrie un program care determină:
1. linia sau liniile pe care se găsesc cele mai multe mine;
2. numărul minim de mine mutate, pentru ca toate minele de pe teren să fie așezate într-o zonă compactă cu formă dreptunghiulară.

O suprafață de teren de formă dreptunghiulară este divizată în N fâșii orizontale și M fâșii verticale, de lățimi egale. Se formează astfel N x M zone de formă pătrată, cu latura egală cu o unitate. Astfel, suprafața este reprezentată sub forma unui tablou bidimensional cu N linii și M coloane, în care pentru fiecare zonă este memorat un număr ce reprezintă altitudinea zonei respective. Interesant este că în tablou apar toate valorile 1, 2, …, N•M. Suprafața este destinată turismului. Deoarece spre laturile de Est și Sud ale suprafeței există peisaje de o frumusețe uimitoare, se dorește găsirea unor trasee turistice în care deplasarea să se realizeze cu pași de lungime unitară mergând doar spre Est și spre Sud. O comisie, care trebuie să rezolve această problemă, a stabilit că un traseu este atractiv dacă și numai dacă ultima poziție a traseului are altitudinea mai mare decât prima poziție a traseului. Un traseu poate începe, respectiv se poate încheia, în oricare dintre zonele terenului, cu respectarea condițiilor anterioare. Se cere să se determine numărul maxim Z de zone pe care le poate avea un traseu atractiv.

Avem o matrice de dimensiuni N x M, cu elemente 0 și 1. Numim segment o secvență de cel puțin două valori 1 aflate una lângă alta, toate pe aceeași linie, sau toate pe aceeași coloană a matricei. Se cere determinarea numărului de perechi de segmente:
1. aflate pe linii distincte ale matricei;
2. aflate pe coloane distincte ale matricei;

Într-o școală există un sistem de acces cu ajutorul cartelelor, conectat la un calculator și o imprimantă. Fiecare elev al școlii are câte o cartelă. Într-o zi, la utilizarea fiecărei cartele, sistemul imprimă următoarele informații pe hârtie, pe câte o linie, după regula următoare:
- Caracterul b dacă elevul este băiat sau caracterul f dacă este fată. Caracterul va fi urmat de un spațiu;
- Caracterul i dacă elevul a intrat în școală sau caracterul e dacă a ieșit din școală. De asemenea, acest caracter va fi urmat de un spațiu;
- Momentul utilizării cartelei, exprimat prin oră, minute și secunde. Acestea vor fi reprezentate în cadrul liniei, exact în această ordine, prin trei numere naturale, separate între ele prin câte un spațiu.

Cunoscându-se toate cele N linii imprimate într-o zi determinați:
1. Câți băieți și câte fete sunt la școală după cele N acțiuni imprimate de sistem.
2. Care este numărul total de secunde în care, în școală, s-au aflat un număr egal, nenul, de fete și băieți, până în momentul utilizării ultimei cartele. Dacă nu există această situație se afișează 0.
3. Care este numărul maxim de secunde în care, în școală, până în momentul utilizării ultimei cartele, s-au aflat neîntrerupt un număr impar de băieți. Dacă nu există o astfel de situație se afișează 0.

Victor și Radu sunt frați. Mama le-a adus n stickere cu fotbaliști, fiecare sticker având imprimat pe spate un cod, un număr cuprins între 10 și 999.999. Frații, dorind cât mai multe stickere pe care să le lipească în albumul propriu, au început să se certe. Mama le propune următorul mod de împărțire a stickerelor: ea aranjează cele n stickere în linie, cu fața în jos, iar apoi fiecare frate, pe rând, va lua primul sticker disponibil, precum și toate stickerele care conțin două cifre care sunt egale cu cele mai mari două cifre, nu neapărat distincte, dintre cele scrise pe primul sticker luat la această etapă. Stickerele sunt disponibile începând de la stânga la dreapta. Fiind cel mai mic, Victor va fi primul, apoi copiii iau stickere alternativ, până când nu mai sunt stickere. La final, fiecare copil numără câte stickere are în total.

Cunoscându-se numărul n de stickere aduse de mama și numerele de pe ele în ordinea în care sunt așezate pe masă, să se determine:
1. Cele mai mari două cifre, nu neapărat distincte, de pe ultimul sticker aflat pe masă înainte de începerea concursului;
2. Fratele care câștigă concursul și câte stickere are.

Dintr-un șir format din N cifre, numerotate de la 1 la N, Ionel ia exact M cifre aflate pe poziții consecutive. El lipește cifrele luate sau le amestecă și apoi le lipește pentru a obține cu ele un număr cât mai mare. Cunoscând N, M și cele N cifre din șir, să se determine:
1) cel mai mare număr care se poate obține din primele M dintre cele N cifre date;
2) de unde va lua Ionel M cifre aflate pe poziții consecutive pentru a obține un număr maxim; dacă sunt mai multe poziții corespunzătoare unui număr maxim, alegerea se va face astfel încât numărul format din cifrele rămase, în ordinea în care erau, să fie cât mai mare posibil; dacă și în acest caz există mai multe soluții, se alege poziția maximă.

Valutar este un joc care poate fi jucat de oricâți jucători. La începutul jocului, fiecare jucător primește L lei și E euro, precum și un jeton numerotat cu numărul jucătorului. Scrieți un program care să rezolve următoarele cerințe:
1. determină numărul de jucători existenți în joc după X mutări;
2. determină jucătorul care a rămas în joc și care are cea mai mare sumă de Euro după X mutări.