Lista de probleme 6

Dintr-o suprafaţă pătrată cu latura de N unităţi care este formată din N*N pătrăţele cu latura de o unitate se decupează cele 4 pătrăţele din colţuri.

Determinaţi o modalitate de a acoperi suprafaţa în întregime cu piese de arie 4 unităţi care au forma următoare:

Piesele pot fi si rotite sau întoarse putând astfel să folosim toate cele 8 moduri de a le aşeza.

La Institutul Român de Cercetări Nucleare se fac experimente în scopul studierii efectelor obţinute prin depozitarea compuşilor radioactivi în spaţiile de depozitare ale unei incinte. Experimentul se desfăşoară într-o incintă de formă pătrată având N*N spaţii de depozitare identice, aşezate precum elementele unei matrice pătratice de dimensiune N. Convenim să numim celule spaţiile de depozitare.

Fiecare celulă conţine un compus care emană radiaţii (cantitatea de radiaţii emisă este un număr strict pozitiv), absoarbe radiaţii (cantitatea de radiaţii ”emisă” este un număr strict negativ) sau este neutră din punct de vedere radioactiv (cantitatea de radiaţii emisă este 0). Compusul dintr-o celulă influenţează nu numai celula curentă, ci şi celulele din jur, pe o distanţă k dată. Definim factorul radioactiv al unei celule ca fiind: valoarea din celula curenta * 1 + (suma valorilor din celulele matricei aflate la distanţă 1) * (1-1/k) + (suma valorilor din celulele din matrice aflate la distanţă 2) * (1-2/k) etc. pâna la distanta k de unde influenţa devine 0.

Să se determine numărul de celule ale matricei în care factorul radioactiv este minim.

O echipă de cercetători a construit un robot pentru realizarea de operaţiuni industriale în medii greu accesibile. Robotul este acţionat de un motor electric alimentat de un acumulator cu proprietatea de a se autoîncărca folosind energia mediului ambiant.

Pentru testele preliminare s-a construit o suprafaţă de testare de formă pătrată, compusă din N*N pătrate de dimensiune unitate, pentru fiecare pătrat cunoscându-se cantitatea de energie, posibil egală cu zero, pe care o poate acumula robotul dacă ajunge în poziţia respectivă. Robotul se va deplasa conform unui şir de comenzi codificat prin caracterele N, E, S, V (N-deplasare cu o poziţie către nord, E-deplasare cu o poziţie către est, S-deplasare cu o poziţie către sud, V-deplasare cu o poziţie către vest). Şirul de comenzi este corect, adică robotul nu va trece de mai multe ori prin aceeaşi poziţie şi nu va depăşi marginile suprafeţei de testare.

Iniţial, acumulatorul robotului este descărcat complet, dar acesta se găseşte cu siguranţă într-o poziţie de unde poate acumula energie. Deplasarea robotului dintr-o poziţie în alta consumă o unitate de energie. Cantitatea de energie ce poate fi stocată în acumulator este nelimitată.

Robotul se opreşte când a efectuat toate comenzile din şirul dat sau când ajungând într-o poziţie energia acumulatorului devine zero, iar în respectiva poziţie nu poate acumula energie.

Cunoscând dimensiunea suprafeţei de testare, cantitatea de energie din fiecare poziţie, poziţia iniţială şi succesiunea de comenzi determinaţi poziţia unde se opreşte robotul.

Ionel este mare pasionat al jocului Triburile. Ideea jocului este aceea că fiecare jucător deţine la un moment dat câteva sate dintr-o zonă şi încearcă să domine acea zonă cucerind satele deţinute în respectiva zonă de alţi jucători. Ionel a ajuns să deţină foarte multe sate şi îi este din ce în ce mai greu să-şi organizeze atacurile.

În acest moment el are n sate, numerotate de la 1 la n, şi urmează să organizeze atacuri coordonate asupra satelor duşmane. Ionel cunoaşte cât timp face armata din fiecare sat al său până la fiecare sat inamic.

Ionel a ales două sate inamice X şi Y pe care vrea să le atace. El s-a gândit la următorul scenariu: selectează k sate diferite ale sale şi trimite toate armatele din ele la atac asupra unuia dintre cele două sate inamice. Toate cele k atacuri trebuie să fie coordonate, adică toate trupele provenind din cele k sate trebuie să sosească în satul atacat exact la aceeaşi oră (pentru aceasta, ele pot pleca la momente diferite de timp). Se ştie că în urma acestui atac supravieţuiesc din fiecare sat al lui Ionel suficiente trupe care se întorc în satul de unde provin şi pot participa la un nou atac. Ionel va selecta apoi din nou k sate de-ale sale, printre care pot fi şi sate care au participat la primul atac, şi va lansa ofensiva asupra celuilalt sat inamic. Şi de data aceasta armatele provenind de la cele k sate trebuie sa ajungă în acelaşi timp la obiectivul pe care îl atacă.

Ionel doreşte ca timpul scurs de la plecarea primei armate până la momentul sosirii armatelor în cel de al doilea sat atacat să fie cât mai scurt, pentru a putea surprinde în felul acesta inamicul.

Vom considera că prima armată a lui Ionel va pleca la atac la ora 00:00, şi toate cele 2k atacuri îşi vor atinge ţinta cel târziu la ora 23:59 a aceleiaşi zile.

Timpul necesar revenirii unei armate în satul de origine după atacul asupra unui sat inamic este egal cu timpul necesar deplasării din satul de origine spre respectivul sat atacat, iar atacul este instantaneu (nu consumă timp).

Se cere să se determine ora la care ajung trupele în cel de al doilea sat atacat, conform cerinţelor de mai sus.

Atunci când este plictisit, Costel inventează jocuri logice şi încearcă să le rezolve. Într-o zi Costel ia o tablă dreptunghiulară împărţită în M*N pătrăţele identice, asemănătoare unei table de şah, şi aşează pe aceasta cuburi identice astfel încât, pe fiecare pătrat al tablei să se afle cel puţin un cub şi cel mult 10 cuburi suprapuse. Costel determină numărul minim de cuburi aşezate pe o poziţie a tablei, notat cu MIN.

El defineşte noţiunea de mutare astfel: alege patru pătrăţele învecinate, care formează un pătrat compus din 2*2 pătrăţele şi ridică toate cuburile de pe aceste poziţii astfel ca, pe fiecare dintre cele patru pătrăţele, să existe un număr de cuburi egal cu MIN. Efortul necesar efectuării mutării este egal cu MAX-MIN, unde MAX reprezintă numărul maxim de cuburi aflat pe unul dintre cele patru pătrăţele alese.

Scopul jocului este acela de a obţine acelaşi număr de cuburi, egal cu valoarea MIN, pe fiecare pătrăţel de pe tablă, efectuând un şir de mutări ce necesită un efort total minim. Efortul total depus pentru rezolvarea jocului este egal suma eforturilor mutărilor efectuate.

Determinaţi valoarea efortului total minim depus pentru rezolvarea jocului.

Se dau două numere naturale N şi K. Determinaţi numărul de şiruri de lungime N formate doar din semnele + şi – şi în care nu apar K semne – pe poziţii consecutive.