Lista de probleme 7

Considerăm un șir de numere naturale nenule a[1], a[2], …, a[n]. În acest șir o V-secvență este o secvență maximală de forma a[x], a[x+1], …, a[y] cu proprietatea că toate numerele din secvență au valori mai mici sau egale cu V. Este maximală pentru că nu poate fi extinsă spre stânga sau spre dreapta. De exemplu, șirul a = 2, 2, 6, 4, 3, 14, 7, 4, 3, 36 are două 7-secvențe: 2, 2, 6, 4, 3 și 7, 4, 3. De asemenea, șirul are trei 4-secvențe: 2,2; 4,3; 4,3. De notat că 2,6,4,3 nu este 7-secvență, deoarece poate fi extinsă la capătul său stâng cu numărul 2.
Pentru un șir de numere dat, trebuie să răspundeți la Q întrebări notate V[1], V[2],…, V[Q]. Pentru fiecare întrebare i, dată prin numărul natural V[i], trebuie să aflați câte V[i]-secvențe sunt în șir.

Gigel vrea să-şi deschidă o firmă de publicitate. Întrucât nu are experiență, s-a decis să înceapă modest închiriind Q panouri publicitare, din care la rândul lui va închiria anumite porțiuni. Astfel el s-a decis să divizeze fiecare panou de înălțime H într-un număr maxim posibil de regiuni/benzi orizontale, toate de înălțime h, deci identice, cu condiția să nu se suprapună. De asemenea, el a făcut o analiză a pieței și a asociat profitul P[h] ce l-ar putea obține pentru o regiune de înălțime h, 1 ≤ h ≤ hmax. Întrucât fiecare client are propria opinie despre dimensiunea reclamei perfecte, profiturile nu sunt corelate cu dimensiunile, astfel fiind posibil ca regiuni mai mici să genereze profit mai mare.
Cunoscând secvența profiturilor, P[1], P[2], …, P[hmax], Gigel își dorește să afle pentru o listă de panouri H[1], H[2], …, H[Q] care vor fi profiturile maxime asociate.

Pescar împătimit pe râul Olt și pe bălțile din lunca Dunării, Eric a ajuns în Deltă și acum și-a propus să pescuiască pe canalele de aici. Sejurul lui Eric în Deltă începe în ziua 0, atunci când el ajunge la cherhanaua din Tulcea. În fiecare din următoarele n zile pornește din cherhanaua în care se află, merge să pescuiască pe un canal și apoi depozitează peștele prins în altă cherhana (de unde va porni în ziua următoare). El și-a făcut de la început planul stabilind exact la care canal pescuiește în fiecare zi și la care cherhana depozitează peștele prins la finalul zilei respective. Dorește însă să meargă o distanță cât mai mică.
Canalele sunt reprezentate prin drepte în plan iar cherhanalele prin puncte. În prima zi de pescuit, el pleacă de la cherhanaua din Tulcea (să o notăm cherhanaua 0), merge să pescuiască într-un loc din canalul 1, apoi depozitează peștele în cherhanaua 1. Rămâne aici peste noapte, apoi, în ziua 2, pornește din cherhanaua 1, pescuiește într-un loc (punct) de pe canalul 2 și depozitează peștele în cherhanaua 2 etc.
Considerând că pescarul Eric se poate deplasa oricum dorește, determinați distanța minimă pe care o parcurge (suma lungimilor tuturor segmentelor pe care el le parcurge).

Se consideră numerele naturale nenule X, N, K, unde N este o putere a lui 2. Pentru o permutare p = (p1,p2,…,pN) a mulțimii {1,2,...,N} se determină maximul după modelul din exemplu. Să se determine numărul permutărilor mulțimii {1,2,...,N} în care valoarea X va fi prezentă pe nivelul K, nu și pe nivelul K-1. Pentru că acest număr poate fi foarte mare, se va determina modulo 1234577.

Pentru un șir de numere \( A \) se definește următoarea funcție de cost: \( f(A) = 1 \cdot v_1 + 2 \cdot v_2 + … + k \cdot v_k \), unde \( [v_1, v_2, …, v_k] \) sunt valorile distincte ale lui \( A \), ordonate crescător.

Fiind dat un șir de N numere naturale A, să se calculeze suma aplicării funcției f pe toate subsecvențele lui A (i.e. suma după (1 ≤ i ≤ j ≤ N) din f(A[i...j]), unde A[i…j] este subsecvența de la i la j).

Durotan, căpetenia clanului Frostwolf, face o ultima încercare în a cuceri clanurile rivale (Orcish Horde). Conform ierarhiei Orcish, căpeteniile de clan sunt denumite warchief, în timp ce liderii triburilor sunt denumiți șamani. Triburile din care fac parte căpeteniile sunt triburi dominante, iar triburile conduse de șamani sunt triburi vasale. Pe planetă există N triburi, numerotate de la 1 la N. Șamanul unui trib are anumite abilități de luptă. Căpetenia unui clan este șamanul tribului său. Abilitățile de luptă cunoscute de șamani sunt numerotate de la 1 la M. De-a lungul timpului între triburile aceluiași clan s-au stabilit relații de vasalitate. Dacă tribul 1 este trib dominant al tribului vasal 2, iar tribul 2 are ca vasal tribul 3, vom spune că tribul 3 se află în zona de influență a triburilor 1 și 2. Triburile 1,2,3 alcătuiesc un clan. Puterea unei căpetenii depinde de numărul triburilor ce alcătuiesc clanul, precum și de abilitățile de luptă învățate. Căpetenia unui clan are anumite abilități de luptă, dar poate să-și însușească (învețe) și abilități de luptă unice de la șamanii triburilor clanului aflate în zona sa de influență. Prin abilități de luptă unice înțelegem abilități cunoscute doar de un singur șaman din totalitatea triburilor clanului. Fiind cunoscute pentru cele N triburi abilitățile fiecărui șaman, relațiile de vasalitate între triburi, numărul de ordine al unui trib al clanului Frostwolf, să se determine:

• numărul total de clanuri
• numărul de triburi din clanul Frostwolf înainte de duel
• numărul maxim de triburi pe care Duroton le poate avea după invocarea codului Mak’gora.

E primăvară și se întorc berzele. În satul nostru, stâlpii de la marginea drumului au vârfurile prea ascuțite și din această cauză berzele nu-și pot face cuib. Așa că e tristețe mare la noi… Dar ne-am adunat cu toții și am hotărât ca pe vârful unor stâlpi să instalăm câte un suport orizontal plan, astfel încât să nu-i fie greu unei berze să-și amenajeze cuibul. Avem n stâlpi la marginea drumului, dispuși liniar și numerotați de la 0 la n–1.

Un număr de m săteni au venit cu câte o restricție de forma i j, însemnând faptul că pe stâlpii din intervalul [i,j] se pot instala cel mult două suporturi pentru cuiburi de berze. Motivele acestor restricții sunt diverse, cum ar fi de pildă apropierea prea mare între anumiți stâlpi. Vom ține seama de ele pentru că vrem ca toți sătenii să fie mulțumiți.

Cunoscând n, m și cele m restricții, să se determine numărul de posibilități ca berzele să-și amenajeze cuiburi pe cei n stâlpi, modulo 700001.