Lista de probleme 16

Un elev a desenat un set format din mai multe pătrate care conțin numere naturale nenule, distincte, consecutive, dispuse în număr egal pe laturi. Pe latura fiecărui pătrat sunt scrise un număr impar de valori. În fiecare pătrat, numerele sunt scrise în ordine crescătoare parcurgând laturile sale, începând din colțul stânga-jos, în sensul invers al acelor de ceasornic. Elevul a numerotat pătratele cu 1, 2, 3 etc., în ordinea strict crescătoare a numărului de valori conținute de fiecare. Diferența dintre cel mai mic număr din pătratul P (1 < P) și cel mai mare număr din pătratul P - 1 este egală cu 1.
Scrieţi un program care rezolvă următoarele două cerinţe:
1. citește un număr natural M și determină numărul K de valori conținute de pătratul numerotat cu M;
2. citește un număr natural N și determină numărul T al pătratului care conține numărul N pe una dintre laturi.

Într-un laborator cibernetic se fac experimente cu roboţi. Pe o bandă de lucru se află aşezate unul lângă altul, N cuburi galbene şi albastre, numeroate în ordine cu valori de la 1 la N. Pentru fiecare cub se cunoaşte latura acestuia, exprimată în centimetri, şi culoarea, codificată prin simbolul g (pentru galben) sau a (pentru albastru). Un robot inteligent este programat să construiască turnuri prin aşezarea cuburilor unul peste altul. El se află în faţa benzii de lucru, analizează fiecare cub în ordine, de la primul la ultimul, şi procedează astfel :

• dacă este primul cub, îl lasă la locul lui pe bandă;
• aşează cubul numerotat cu K peste cubul numerotat cu K-1 doar dacă el are culoarea diferită şi latura mai mică decât cubul K-1. Această operaţie se efectuează în cazul în care cubul K-1 se află deja într-un turn constuit anterior sau dacă el a rămas în poziția inițială. În cazul în care cubul K nu poate fi aşezat peste cubul K-1, el rămâne la locul lui.

Ştiind că un turn poate fi format din cel puţin un cub, scrieţi un program care să determine:
1. numărul final T al turnurilor de pe bandă şi H, înălţimea celui mai înalt turn care se poate forma, exprimată în centimetri;
2. cel mai mare număr de cuburi Nmax ce pot forma un turn, dacă cele N cuburi ar putea fi rearanjate inițial pe bandă, unul lângă altul.

Se dă o matrice binară cu n coloane și m linii. Coloanele sunt numerotate de la stânga la dreapta cu valori de la 1 la n, iar liniile sunt numerotate de jos în sus cu valori de la 1 la m.
Matricea dată are o formă particulară, astfel că pentru fiecare coloană i de la 1 la n toate elementele matricei de pe coloana respectivă au valoarea 1 pentru toate liniile cuprinse în intervalul [1, h[i]] și în rest valoarea 0. Valorile h[i] sunt numere naturale date în ordine crescătoare (h[i-1] ≤ h[i], 1 ≤ i ≤ n).
Să se răspundă la q întrebări de forma: dându-se numerele A, B, C, D se cere suma elementelor din submatricea determinată de zona dreptunghiulară având colțul stânga-jos în coloana A și linia B, iar colțul dreapta-sus în coloana C și linia D.

Corina a cumpărat de la magazin un material din pânză colorată, de formă dreptunghiulară pentru a decupa din el o față de masă pentru masa din bucătărie. Fiindcă este pasionată de șah, Corina a ales un material format din n x m pătrate de aceeași dimensiune colorate cu alb sau negru. Pătratele sunt lipite și sunt dispuse pe linii și coloane paralele cu laturile dreptunghiului din pânză care a fost cumpărat. Două pătrate se numesc vecine dacă au în comun o latură. Materialul din pânză nu respectă neapărat structura unei table de șah, adică pătratele vecine pe aceeași linie sau pe aceeași coloană nu sunt în mod necesar colorate în mod alternativ.
Corina își propune prin urmare să decupeze un dreptunghi cu un număr maxim de pătrate, paralel cu laturile dreptunghiului din pânză care a fost cumpărat, care să respecte alternanța culorilor pe o tablă de șah.
Să se determine numărul maxim de pătrate întregi ale unui dreptunghi cu laturile paralele cu cele ale materialului cumpărat, care poate fi decupat astfel încât să nu existe două pătrate vecine având aceeași culoare.

Se consideră o matrice pătratică de dimensiune N, conţinând numere naturale. Numim cruce de lăţime K reuniunea mulțimii tuturor elementelor aflate pe K linii consecutive ale matricei și a mulțimii tuturor elementelor aflate pe K coloane consecutive ale matricei. Două elemente ale matricei se consideră distincte dacă sunt situate pe poziții distincte în matrice. Se acceptă şi forma degenerată a unei cruci, în formă de T sau L, când una dintre liniile sau coloanele care formează crucea sunt chiar la marginea matricei. Vom defini valoarea unei cruci ca fiind suma elementelor din care aceasta este formată.

Scrieți un program care, pentru o valoare K dată, determină o cruce de lățime K a cărei valoare este maximă și poziția ei în matrice. Această poziție va fi exprimată prin perechea de indici reprezentând prima linie din cele K consecutive și prima coloană din cele K consecutive din care este formată crucea.

Mihai a primit de ziua lui un joc de puzzle. Jocul are N piese confecţionate prin lipirea unor bucăţi de dimensiune 1x1 (ilustrate în figurile de mai jos prin X); aceste bucăţi le vom numi în continuare, pe scurt, X-uri. Pentru confecţionarea unei piese se respectă următoarele reguli:
1. X-urile sunt aşezate unul peste altul, formând coloane ce pot avea înălţimi diferite, apoi coloanele se aliniază în partea de jos şi se lipesc între ele, una după cealaltă, de la stânga spre dreapta;
2. pe o coloană sunt cel mult nouă X-uri;
3. toate piesele au acelaşi număr de coloane.
Determinați care este numărul de moduri în care Mihai poate alege câte două piese dintre cele N pentru a face o operaţie în modul descris mai sus.

Se consideră răsturnatul unui număr natural valoarea obținută prin parcurgerea cifrelor acestuia de la dreapta la stânga. De exemplu, răsturnatul numărului 245 este 542. Un număr este palindrom dacă este egal cu răsturnatul său. De exemplu 121 este palindrom, iar numărul 21 nu este palindrom.
Se consideră inițial șirul numerelor naturale 0, 1, 2, 3, 4, …
Din acest șir se elimină numerele divizibile cu 10 și, după fiecare număr care NU este palindrom, se inserează răsturnatul său. Noul șir astfel obținut va fi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 21, 13, 31, …

Scrieți un program care să citească:
1. un număr natural n și să afișeze al n-lea număr eliminat din șirul inițial;
2. un număr natural x și să afișeze următoarele trei numere: n1 – numărul de apariții în noul șir ale numărului obținut din x prin eliminarea ultimei sale cifre; n2 – numărul de apariții în noul șir ale numărului obținut din x prin eliminarea ultimelor sale două cifre; n3 – numărul de apariții în noul șir ale numărului obținut din x prin eliminarea ultimelor sale trei cifre.
3. un număr natural k și să afișeze numărul valorilor de k cifre din noul șir.

La ora de educație tehnologică a clasei a V-a profesorul Forus, pasionat de matematică, a adus pentru fiecare dintre cei N elevi câte un carton pe care este scris câte un număr natural nenul. Fiecare elev poate folosi cartonul așa cum l-a primit sau poate să taie o singură dată cartonul între două cifre și să lipească partea stângă la finalul părții drepte. Elevul NU are voie să facă o tăietură în fața cifrei 0, deci niciunul dintre numerele obținute NU poate să înceapă cu cifra 0. Dintre toate numerele pe care le poate obține, elevul îl alege pe cel care are număr minim de divizori, iar dacă poate obține mai multe astfel de numere, îl alege pe cel mai mic dintre ele. La sfârșitul orei, profesorul strânge cartoanele cu numerele alese, în ordinea distribuirii lor.
Scrieţi un program care citeşte numărul natural N și cele N numere scrise pe cartoanele aduse de profesorul Forus, apoi rezolvă următoarele două cerinţe:
1. determină numărul de cartoane pe care elevii au voie să le taie de oriunde (NU conțin cifre în fața cărora NU au voie să taie);
2. determină, în ordinea strângerii cartoanelor, numerele preluate de către profesorul Forus la finalul orei.

Vrăjitoarea cea bună are un cufăr în care este închisă piatra magică de către piticii lăzii cu ajutorul unui cifru digital. Piticii i-au dat vrăjitoarei o cutie în care sunt n cartonașe. Pe fiecare cartonaș este scris un număr natural pe care vrăjitoarea îl va folosi să deschidă lada. Valorile scrise pe cartonașe sunt distincte între ele.
Pentru a afla cifrul trebuie să procedeze astfel: extrage fiecare cartonaș din cutie și apoi determină valoarea magică asociată numărului natural scris pe cartonaș. Pentru fiecare cartonaș valoarea magică este dată de al k-lea divizor prim al numărului înscris pe acesta. Vrăjitoarea trebuie să adune valorile magice obținute pentru cele n cartonașe și apoi să introducă în ordine cifrele valorii obținute, pentru a descuia lada. Deoarece vrăjitoarea nu are timp la dispoziție vă roagă pe voi să o ajutați să rezolve următoarele probleme:
1. Să afle valoarea magică pentru un cartonaș dat;
2. Să afle cifrul cufărului.

Micul Prinț a ajuns în țara numerelor palindrom cu număr impar de cifre unde a primit de la sfetnicul regelui o listă care conține N numere naturale, fiecare cu număr impar de cifre. Un număr este palindrom dacă prima lui cifră este egală cu ultima, a doua cu penultima, ș.a.m.d. Acesta i-a transmis că regele este foarte bolnav. Odată cu regele, numerele din listă s-au îmbolnăvit și ele. Sfetnicul i-a spus că lista corectă poate fi obținută prin înlocuirea fiecărui număr din ea cu cel mai mic palindrom mai mare sau egal cu numărul respectiv.
După ce a urmat recomandarea sfetnicului, Micul Prinț a constatat că în lista corectă obținută toate palindromurile sunt distincte. Uitându-se mai cu atenție la palindromurile din această listă, a observat că există perechi de palindromuri în care cel mai mic se poate obține din cel mai mare prin ștergerea aceluiași număr de cifre de la ambele capete. De exemplu pentru perechea 7531357 și 313 palindromul 313 se obține din 7531357 prin eliminarea a câte două cifre de la ambele capete ale sale.
Considerăm un șir de palindromuri din lista corectă și notăm cu X valoarea maximă a acestui șir. Vom spune că șirul este magic dacă toate palindromurile din el se pot obține după metoda descrisă mai sus, din palindromul de valoare X. Un exemplu de șir magic este 4, 53435, 7534357, 89753435798, presupunând că toate aceste numere se regăsesc în lista corectă.

Scrieți un program care citește numerele din lista primită de la sfetnicul regelui și afișează:
1) Lista corectă obținută de Micul Prinț;
2) Numărul de elemente ale celui mai lung șir magic care se poate obține din lista corectă;
3) Palindromurile din care este format cel mai lung șir magic, afișate în ordine crescătoare. Dacă există mai multe astfel de șiruri în lista corectă a Micului Prinț, se va afișa cel în care ultimul număr este cel mai mare.