Lista de probleme 3

Cel mai nou proiect imobiliar din capitală este compus din N blocuri-turn, construite unul lângă altul, de-a lungul unui bulevard central și numerotate de la 1 la N. Pentru fiecare turn se cunoaște numărul etajelor din care este compus acesta și se mai știe că nu există două turnuri cu același număr de etaje. Ultimele norme urbanistice definesc coeficientul de frumusețe al turnului cu numărul T ca fiind numărul turnurilor din secvența de turnuri care începe cu turnul S, se termină cu turnul D și are următoarele proprietăți:

• 1 ≤ S ≤ T ≤ D ≤ N
• numărul etajelor fiecărui turn din secvență, cu excepţia turnului T, este mai mic decât numărul de etaje ale turnului T;
• Dacă S ≠ 1 atunci turnul S-1 este cel mai apropiat turn din stânga turnului T, care are un număr de etaje strict mai mare decât turnul T;
• Dacă D ≠ N atunci turnul D+1 este cel mai apropiat turn din dreapta turnului T, care are un număr de etaje strict mai mare decât turnul T;

Coeficientul de frumusețe al întregului ansamblu de turnuri este suma coeficienților de frumusețe avuţi de turnurile componente. Dezvoltatorul proiectului dorește să renunțe la unul dintre turnuri și să construiască în locul acestuia un restaurant subteran, acesta considerându-se un turn cu zero etaje. Dezvoltatorul dorește să calculeze coeficientul de frumusețe al ansamblului de turnuri, pentru fiecare posibilă amplasare a restaurantului.

Cunoscând numărul N de turnuri și numărul etajelor fiecăruia, determinați coeficientul de frumusețe al ansamblului de turnuri pentru toate cele N posibilități de amplasare ale restaurantului, pe pozițiile 1, 2,…, N.

Arheologii au descoperit pe un platou muntos greu accesibil ruinele unui castel medieval, pe care l-au fotografiat din elicopter, obţinând harta digitizată a acestuia. Harta este memorată sub forma unui tablou bidimensional H, compus din N x N pătrate cu latura egală cu unitatea, având ca elemente numere naturale între 0 și 15, care codifică forma pereţilor fiecărui pătrat unitar. Dacă scriem numărul natural H[i][j] în baza 2, folosind exact 4 cifre binare, fiecare bit dă informații despre unul dintre pereții posibil de construit pe fiecare latură a pătratului unitar din poziția (i,j), astfel:

• dacă bitul de pe poziția 0 are valoarea 1, atunci există perete pe latura vestică (latura din stânga);
• dacă bitul de pe poziția 1 are valoarea 1, atunci există perete pe latura sudică (latura de jos);
• dacă bitul de pe poziția 2 are valoarea 1, atunci există perete pe latura estică (latura din dreapta);
• dacă bitul de pe poziția 3 are valoarea 1, atunci există perete pe latura nordică (latura de sus);
• un bit de valoare 0 indică lipsa peretelui corespunzător acestuia;

Pentru un număr scris în baza 2, numerotarea cifrelor începe cu poziția 0, de la dreapta la stânga.
Castelul este interesant deoarece, pentru realizarea unei mai bune apărări, camerele ce-l compun sunt construite fie independent, fie una în interiorul alteia. Orice camera este construită la o distanţă de cel puţin o unitate faţă de zidul ce împrejmuieşte castelul sau faţă de pereţii altor camere.
Folosind harta, arheologii doresc să afle informaţii privind numărul camerelor şi camera de arie maximă. Prin arie a unei camere se înţelege numărul pătratelor unitate cuprinse în interiorul pereților aceasteia, fără a socoti ariile camerelor construite în interiorul ei.

Cunoscând codificarea hărţii castelului, să se determine:
1. numărul total al camerelor din castel
2. aria maximă a unei camere
3. coordonatele colţurilor din stânga-sus, respectiv dreapta-jos a camerei cu aria maximă. Dacă există mai multe camere având aceeaşi arie maximă, atunci se vor afişa coordonatele camerei având colţul din stânga-sus (lin1, col1) cu lin1 minimă, iar la linii egale pe aceea cu col1 minimă.

Se dă o expresie matematică în care pot să apară literele x, y, z, t, cifre și semnele + sau -.
Cifrele alăturate formează numere. Literele reprezintă variabile. O variabilă poate fi precedată de un număr. Între variabilă și numărul care o precede nu există alte caractere. Un grup format dintr-o literă și, eventual, un număr care o precede formează un monom. Un monom nu conține mai multe litere. Numărul care apare într-un monom se numește coeficient.
Expresia poate să conțină și numere care nu sunt urmate de o variabilă. Aceste numere se numesc termeni liberi.
Expresia este deci alcătuită din monoame și termeni liberi. Fiecare monom și fiecare termen liber este precedat de unul dintre semnele + sau -.
Valoarea matematică a unei expresii este valoarea care se obține dacă înlocuim literele care apar în expresie cu valori numerice și efectuăm calculele. Valoarea unui monom se obține înmulțind coeficientul monomului cu valoarea pe care o are variabila care apare în respectivul monom. De exemplu, valoarea expresiei +3x pentru x=2 este 6.
Fiind dată o expresie corectă, să se determine:
1. valoarea matematică a expresiei dacă x, y, z și t au valoarea 1.
2. numărul de cvartete distincte (x,y,z,t), de valori întregi care aparțin unui interval dat [a,b], pentru care expresia matematică corespunzătoare expresiei date este egală cu o valoare dată E. Două cvartete sunt distincte dacă există cel puţin o poziţie pentru care valorile corespunzătoare sunt diferite.