Lista de probleme 17

Un copil construiește un triunghi cu numerele naturale nenule astfel:

• în vârful triunghiului scrie valoarea 1;
• completează liniile triunghiului de sus în jos, iar căsuțele de pe aceeași linie de la stânga la dreapta cu numere naturale consecutive, ca în figurile următoare.

În figura 1 este ilustrat un astfel de triunghi având 5 linii, conținând numerele naturale de la 1 la 15.
În acest triunghi copilul începe să construiască drumuri, respectând următoarele reguli:

• orice drum începe din 1;
• din orice căsuță se poate deplasa fie în căsuța situată pe linia următoare în stânga sa (deplasare codificată cu 1), fie în căsuța situată pe linia următoare în dreapta sa (deplasare codificată cu 2);
• orice drum va fi descris prin succesiunea deplasărilor efectuate.

De exemplu, drumul ilustrat în figura 2 poate fi descris astfel: 1 2 2 2.

Scrieţi un program care rezolvă următoarele două cerințe:

1. citește descrierea unui drum și afișează numărul la care se termină drumul;
2. citește un număr natural nenul K, determină un drum care se termină cu numărul K pentru care suma numerelor prin care trece drumul este maximă și afișează această sumă.

Pe o zonă în formă de dreptunghi cu laturile de lungimi N și M se găsesc NxM pătrate de latură 1. În centrul fiecărui pătrat se găsește înfipt câte un ac de grosime neglijabilă. Fiecare ac este descris de înălțimea sa. Această zonă se poate reprezenta ca un tablou bidimensional de dimensiuni N și M, iar fiecare element din matrice reprezintă înălțimea (număr natural nenul) fiecărui ac. În centrul pătratului (N,M) există o cameră de luat vederi de ultimă generație, mobilă, care se poate roti cu 360⁰ în orice plan, situată la nivelul solului. Dimensiunile camerei sunt neglijabile.

Pentru direcția N, camera va vedea acul de coordonatele (3,4) – în totalitate, iar acul (2,4) se va vedea doar parțial . Acul (1,4) nu se vede pentru că este acoperit total de (2,4). În direcția V, camera va vedea doar acul (4,3), deoarece (4,2) și (4,1) sunt acoperite total de (4,3). Pentru celelalte direcții se vor vedea parțial sau în totalitate acele (3,3), (3,2), (3,1), (2,3), (1,3), (2,2), (2,1), (1,2). Acul (1,1) nu se vede din cauza acului (2,2), care îl acoperă total. Acul (2,2) se vede doar parțial, pentru că o parte din el este acoperit de acul (3,3).

1. Câte ace vede camera de luat vederi dacă se poate roti în plan vertical, doar în direcțiile N și V?
2. Câte ace vede camera de luat vederi dacă se poate roti în orice plan și în orice direcții?

Paul dorește să învețe cum să programeze un robot. Pentru început s-a gândit să construiască un robot format dintr-un mâner, 10 butoane aranjate circular şi un ecran. Pe butoane sunt scrise, în ordine crescătoare, cifrele de la 0 la 9, ca în figură.

Se consideră N puncte din plan, având coordonate numere naturale, relativ la un reper cartezian XOY, oricare două puncte fiind distincte. Să se determine:

1) Numărul maxim de puncte care au aceeași abscisă.
2) Numărul triunghiurilor care se pot desena respectând următoarele condiții:

• au toate vârfurile în puncte dintre cele date;
• au o latură paralelă cu OX;
• nu au laturi paralele cu OY;

Ștefan a împlinit 15 ani. Fiind un pasionat membru al Clubului de Robotică, familia i-a dăruit de ziua lui foarte mulți roboți, fiecare dotat cu o armă de o anumită putere. El a așezat toți roboții în jurul său, pe circumferința unui cerc imaginar, în sensul acelor de ceasornic. Aceste dispozitive inteligente pot comunica între ele, unindu-și puterile armelor.

Cunoscând numărul de roboți, precum și puterea fiecăruia, să se scrie un program care determină:
1. Dimensiunea celei mai lungi secvențe de roboți pentru care puterile armelor lor formează un șir strict crescător.
2. O aranjare a roboților pe cerc, astfel încât suma produselor de câte două puteri vecine să fie maximă. Dacă există mai multe modalităţi de aranjare astfel încât să se obţină aceeaşi sumă maximă, se va determina cea minimă din punct de vedere lexicografic.

Să ne imaginăm faptul că la un anumit liceu există doar două clase per generație: una de Real și una de Uman. În prezent au loc înscrierile pentru clasa a IX-a. Cele două clase au fiecare câte M locuri disponibile, atât la Real, cât și la Uman. Dacă lista de elevi înscriși la o anumită clasă conține mai mult de M elevi, vor fi admiși acei M elevi care au notele cele mai mari. Ambele clase au deja M elevi înscriși, iar pentru fiecare se știe nota cu care a fost înscris la clasa respectivă.

Mai există însă N elevi, singurii încă neînscriși, care sunt privilegiați în acest proces (fiindcă au terminat gimnaziul la acest liceu). Privilegiul lor constă în următorul fapt: ei se pot înscrie acum, după ce înscrierile publice au fost încheiate, și se cunosc notele de înscriere la ambele clase. Fiecare din cei N elevi are câte două note: nota cu care ar fi înscris la Real și nota cu care ar fi înscris la Uman (acestea pot fi diferite, deoarece examenele de admitere de la cele două clase diferă). Fiecare din cei N elevi va alege să se înscrie în maxim o clasă. Ei își vor coordona alegerile astfel încât să maximizeze numărul de elevi admiși. Deoarece calculele devin destul de complicate, aceștia s-ar putea folosi de ajutorul vostru. Ei doresc răspunsul la două întrebări.

(1) Care este numărul maxim de elevi privilegiaţi care pot fi admiși dacă se pune restricția suplimentară ca toți elevii privilegiați admiși să fie admiși la aceeași clasă?
(2) Care este numărul maxim de elevi privilegiaţi care pot fi admiși dacă aceștia se pot înscrie la clase diferite?

Se consideră un tablou cu N linii şi N coloane (numerotate de la 1 la N) care conţine valoarea 1 în fiecare dintre cele NxN celule. Valorile din tablou pot fi modificate prin aplicarea a două operații codificate astfel:

• L nr, prin care se schimbă simultan toate semnele numerelor din linia cu numărul nr.
• C nr, prin care se schimbă simultan toate semnele numerelor din coloana cu numărul nr.

Cerințe:

1) Dându-se o succesiune de K operații (L nr sau C nr) asupra liniilor/coloanelor tabloului inițial (în care toate celulele conțin valoarea 1) să se determine numărul valorilor pozitive din tablou la finalul executării celor K operații.
2) Să se determine numărul minim de operații L nr sau C nr, care, aplicate tabloului inițial, îl modifică astfel încât tabloul obținut să conțină exact Z valori negative.

Un număr natural de cel puțin două cifre se numește accesibil dacă este format din cifre consecutive în ordine strict crescătoare. (23 și 6789 sunt numere accesibile, în timp ce 7, 2334 și 654 nu sunt numere accesibile)

Scrieți un program care să citească numerele k, n și un șir de n numere naturale și să afișeze:

a) cele mai mari 3 numere accesibile, nu neapărat distincte, din șirul de n numere;
b) câte dintre numerele din șirul dat care nu sunt accesibile, devin accesibile prin eliminarea exact a unei cifre;
c) cel mai mic și cel mai mare număr accesibil format din k cifre;
d) numărul numerelor accesibile pare de k cifre și numărul numerelor accesibile impare de k cifre.

Dorel și-a achiziționat o fermă cu n plantații și o mașină de transport cu o capacitate c, pentru transportul de îngrășăminte la toate plantațiile. Îngrășămintele se află într-un depozit, în cantitate suficientă pentru scopul propus. Plantațiile și depozitul sunt dispuse sub forma unui cerc. Există drumuri doar între plantația i și plantația i+1 (1≤i≤n-1), precum și între depozit și plantația 1 și depozit și plantația n, ca în figură.

La o plantație i se poate ajunge de la depozit trecând prin plantațiile 1, 2,…, i-1 sau prin plantațiile n, n-1, …, i+1, alegerea făcându-se în funcție de traseul cel mai scurt. Se cunosc aceste distanțe, precum și cantitatea de îngrășăminte necesară pentru fiecare plantație. La fiecare încărcare, Dorel ia din depozit exact cantitatea c. Dorel vrea să-și organizeze bine munca la fermă și să consume cât mai puțină benzină prin alegerea celor mai scurte trasee de parcurs. Plantațiile trebuie să fie aprovizionate obligatoriu în ordinea următoare: mai întâi plantația 1, apoi plantația 2, plantația 3,…, plantația n. În plus, și-a propus să încarce o nouă cantitate de îngrășământ doar după ce a folosit toată cantitatea încărcată anterior. Transportarea îngrășămintelor pe plantații se face deci, începând cu plantația 1. După ce se transportă toată cantitatea necesară pentru această plantație, se trece la plantația 2, și tot așa în ordine la 3, 4 etc. până se deservește ultima plantație. Dacă după ce s-au transportat îngrășămintele necesare pentru plantația i în mașină au mai rămas încă îngrășăminte, acestea trebuie utilizate în continuare pentru alte plantații, alese în ordinea impusă (începând cu plantația i+1, apoi i+2 etc.), până se epuizează toată cantitatea transportată de mașină. Astfel, dacă de la plantația i trebuie să ajungă la plantația i+1, va alege cel mai scurt traseu dintre traseul direct de la plantația i la i+1 și traseul care trece prin plantațiile i-1, i-2, …, 1, depozit, n, n-1, …, i+1. La final, mașina trebuie să se întoarcă la depozit, goală sau cu cantitatea rămasă după aprovizionarea cu îngrășăminte a plantației n.

Ajutați-l pe Dorel să calculeze distanța parcursă pentru a transporta îngrășăminte la toate cele n plantații, conform cerințelor.

Inspiraţi de clasicul joc Tic-Tac-Toe (X şi 0), Teodora şi Ştefan îşi propun să joace ceva asemănător, adăugând jocului clasic câteva reguli noi:

• tabla de joc este un pătrat de latură N, care este împărţit în N*N celule, aşezate pe N linii şi N coloane; celulele pătratului sunt numerotate de la 1 la N2 parcurgând liniile de sus în jos, și coloanele de la stânga la dreapta;
• Teodora va marca celulele cu X (litera X), iar Ştefan cu 0 (cifra 0);
• în cadrul unei runde, copiii marchează alternativ câte o celulă din pătrat, nemarcată anterior;
• o rundă a jocului este descrisă printr-un șir format din exact N2 numere naturale reprezentând celulele pătratului, în ordinea în care au fost marcate succesiv de cei doi copii;
• jocul are K runde; prima este începută de Teodora, a doua de Ştefan, a treia Teodora, a patra Ştefan şi aşa mai departe;
• o rundă este câştigată de jucătorul care reuşeşte primul să marcheze complet o linie, o coloană, diagonala principală sau una din cele două semidiagonale paralele şi alăturate cu aceasta, diagonala secundară sau una din cele două semidiagonale paralele şi alăturate acesteia;
• o rundă se încheie fără un câştigător dacă după marcarea celor N2 celule nu există pe tabla de joc nicio linie, coloană, diagonală sau semidiagonală marcate cu acelaşi simbol.

Cunoscând numerele N, K şi cele K şiruri de numere care reprezintă rundele jucate, scrieţi un program care să rezolve una dintre următoarele două cerinţe:

1. Să se determine câte runde a câştigat fiecare copil.
2. Să se determine care este cel mai mare număr de marcări efectuate până la câştigarea unei runde.