Lista de probleme 4

Se construiește un șir de pătrate de latură 1, 2, 3, 4, …. Fiecare pătrat este împărțit în pătrate de latură 1. De exemplu, pătratul cu latura k va fi împărțit în k*k pătrate de latură 1. Se numerotează toate pătratele elementare parcurgându-le în spirală în fiecare pătrat din șir.

Cunoscându-se numărul N al unui pătrat elementar, să se determine numărul pătratului din șir care-l conține, rândul și coloana în care acesta este poziționat.

Astăzi e o zi specială. Împlinești 14 ani. Deja ți-ai luat buletinul. Ca să sărbătorești așa cum se cuvine acest eveniment, ți-ai invitat cei mai buni prieteni, la un concert rock, care are loc în după-amiaza aceasta. Pentru aceasta, părinții au cumpărat toate cele N locuri situate în primul rând. Din păcate, acum a început să plouă tare. S-a anunțat că ploaia durează maxim câteva ore. Organizatorii promit că vor încerca să șteargă o parte cât mai mare din scaune. După ce termini olimpiada, îți suni prietenii ca să îi întrebi câți dintre cei invitați mai vin. Afli că în total veți fi P care mergeți la concert și că, doar K dintre ei acceptă să stea și pe un scaun umed. Ceilalți P-K vor să stea doar pe scaune uscate. Vrei neapărat ca în timpul concertului să stați cât mai aproape unul de celălalt, astfel încât distanța dintre cel mai din stânga prieten și cel mai din dreapta prieten să fie cât mai mică posibil. Cum ești foarte emoționat, preferi să scrii un program prin care să calculezi această distanța minimă dintre primul scaun și ultimul scaun pe care să te așezi împrună cu prietenii tăi, ținând cont de dorințele lor.

Lui Cristian, ca oricărui alt copil, îi plac bomboanele. A primit cadou de la prietenii lui cutii cu bomboane. Fiind multe cutii le-a numerotat: 1, 2, 3, … Desfăcând câteva, a văzut că există o legătură între numărul de pe etichetă și numărul de bomboane din cutie. Astfel în fiecare cutie sunt atâtea bomboane câți divizori pari are numărul de pe cutie. De exemplu cutia cu numărul 10 conține 2 bomboane, cutia cu numărul 8 conține 3 bomboane ș.a.m.d.

Cristian a ales la întâmplare două etichete x și y dorind să desfacă toate cutiile cu etichete cuprinse între x și y. Ajutați-l să determine prima cutie, etichetată cu a, și utima cutie, etichetată cu b, cu număr maxim de bomboane (x≤a≤b≤y), câte cutii n sunt cu acest număr de bomboane și care este acest număr d de bomboane.

Se dau n numere naturale nenule. Determinați numărul de cifre 0 de la sfârşitul produsului celor n numere și care este ultima cifră nenulă a acestui produs.