Lista de probleme 3

La începutul anului 2023, Gosu și-a creat o listă de rezoluții. Printre cele mai importante lucruri pe care Gosu își dorește să le realizeze anul acesta se numără cititul a N cărți pe care le are pe raftul bibliotecii. Fiecare carte are asociată un scor acordat de un critic, număr întreg strict pozitiv. Fiind o persoană analitică și realistă, Gosu își imaginează M scenarii de forma “După primele q cărți citite, care va fi suma maximă a scorurilor acestora, după un număr nelimitat de interschimbări între cărți din genul literar p?”.
Acestea sunt situații ipotetice, deci ordinea cărților pe raft nu este modificată în realitate pe parcursul interogărilor. Aflați răspunsurile în cazul acestor situații, reprezentate prin interogări independente de forma (p, q).

Dorel este pasionat de studiul pătratelor perfecte. El doreşte să afle răspunsul la Q cerinţe de forma: dacă se dau numerele naturale l, r, a, b, cu l ≤ r, să se afle câte numere naturale x cuprinse între l şi r (inclusiv acestea) au proprietatea că x+a şi x+b sunt simultan pătrate perfecte.

Să considerăm un calculator cuantic cu N qubiți setați inițial la |q1⟩|q2⟩..|qN⟩. Asupra acestor qubiți se poate efectua un singur tip de operații: se inversează toți qubiții (|0⟩ devine |1⟩ și viceversa) dintr-o subsecvență (qubiți aflați pe poziții consecutive). Aflați numărul minim de operații necesare pentru a seta toți qubiții la |1⟩ în situațiile:
1. Operațiile se pot efectua asupra subsecvențelor de orice lungime
2. Operațiile se pot efectua doar asupra subsecvențelor de lungime K