Lista de probleme 11

Se dă un graf orientat ponderat – în care fiecare arc are asociat un cost, număr natural strict pozitiv, și un nod p. Să se determine, folosind algoritmul lui Dijkstra, costul minim al drumului de la p la fiecare nod al grafului.

Dijkstra are nevoie de ajutorul vostru pentru a-și duce la bun sfârșit datoria. Acesta vrea să afle drumurile de lungime minimă de la casa prietenului său Vlad la celelalte case ale vecinilor. Nu are foarte mult timp la dispoziție așa ca trebuie să vă mișcați repede. Îl veți ajuta?

Într-o țară sunt n orașe, numerotate de la 1 la n, unite între ele prin m șosele bidirecționale de lungimi cunoscute, între oricare două orașe existând drum, fie șosea directă, fie prin alte orașe. O firmă dorește să-și stabilească sediul în unul dintre orașe, astfel încât suma lungimilor drumurilor minime de la orașul în care se află sediul la toate celelaltele orașe să fie minimă. Determinați orașul care va fi ales pentru sediul firmei. Dacă sunt mai multe orașe care pot fi alese, se va alege cel cu numărul de ordine mai mic.

Parcul orașului este alcătuit din n intersecții, numerotate de la 1 la n, unite între ele prin m alei bidirecționale, fiecare având o anumita lungime. Într-o intersecție precizată C se organizează un concert; de asemenea, unele intersecții, precizate și ele, reprezintă porți de intrare în parc, accesul fiind posibil doar prin aceste porți.

Gigel poate ajunge cu mașina la oricare dintre aceste porți, dar vă roagă să alegeți pentru el acea poartă pentru care distanța până la intersecția C este minimă. Dacă există mai multe porți cu această proprietate se va determina poarta cu numărul de ordine mai mic.

Tudor este foarte indecis, deoarece a fost chemat la r festivaluri și puterea lui fizică nu îi permite să ajungă la toate. În orașul în care locuiește sunt m străzi bidirecționale și n intersecții numerotate cu numere de la 1 până la n. Festivalurile au loc în r intersecții. El pornește din intersecția cu numărul z.

Pentru a ajunge dintr-o intersecție în alta, folosește străzile. Când parcurge o stradă, el consumă o anumită energie, care diferă de la stradă la stradă.

După terminarea fiecărui festival, Tudor se va reîntoarce la casa lui, adică la intersecția cu numărul z, costul drumului de această dată fiind 0, pornind din nou la următorul festival.

Întrucât este un om foarte dedicat muzicii, Tudor vrea să participe la cât mai multe festivaluri, dar fără să-și depășească puterea lui fizică p.

Determinați numărul maxim de festivaluri la care poate participa.

În anul 2020, profitând de lipsa oamenilor de pe şosele, guvernul a construit atâtea şosele încât poţi ajunge din orice oraş al patriei în oricare altul. Drumul dintre două oraşe are şi un cost, cel al benzinei consumate. Dorel s-a hotărât să plece într-o excursie, pornind din oraşul 1 până într-un oraş oarecare. El profită şi de oferta guvernului de relansare a turismului, având k vouchere de călătorie. Un voucher îl scuteşte de plata benzinei între două oraşe consecutiv vizitate, traseu pe care îl alege el pentru scutirea plăţii, de asemenea nefiind obligatorie folosirea tuturor voucherelor primite. Aflaţi costul minim al călătoriei din oraşul 1 pâna la fiecare oraş.

Trei ubuntzei au hotărât ca anul acesta să petreacă ziua de 1 Mai pe malul Mării Negre împreună cu prietenii lor, motiv pentru care au pus la cale o excursie pe un traseu care să plece din oraşul lor Cluj-Napoca spre Vama Veche, unde nisipul îi aşteaptă.

În ţara ubuntzeilor există N localităţi, numerotate de la 1 la N, legate între ele prin M şosele bidirecţionale de diferite lungimi. Localitatea de plecare a ubuntzeilor, oraşul Cluj-Napoca, este numerotată cu 1, iar localitatea destinaţie, Vama Veche, cu N. Între oricare două localităţi există cel mult o şosea. Fiecare şosea uneşte două localităţi distincte şi se poate călători între oricare două localităţi circulând numai pe şosele.
Prietenii ubuntzeilor locuiesc în K localităţi distincte, diferite de Cluj-Napoca şi Vama Veche. Pentru a nu călători singuri, cei trei ubuntzei vor să treacă prin cele K localităţi în care locuiesc prietenii lor, şi apoi, împreună cu aceştia, să-şi continue excursia către mare.

Nerăbdători să ajungă cât mai repede la destinaţie, ubuntzeii s-au hotărât să îşi stabilească un traseu de lungime minimă care să treacă prin toate cele K localităţi.

Scrieţi un program care să determine, pentru ubuntzei, lungimea minimă L a unui traseu de la Cluj-Napoca la Vama Veche ce trece prin toate cele K localităţi.

Călinuţa tocmai a găsit o foaie de hârtie pe care este desenat un graf orientat aciclic cu N noduri şi M arce, fiecare arc având o distanţă de valoare întreagă. Dându-se N, M şi cele M arce cu distanţele dintre ele, trebuie să calculaţi pentru Călinuţa distanţa minimă dintre fiecare două noduri.

Mihai, fiind un mare pasionat al jocurilor în aer liber, a inventat un joc nou în speranța că își va convinge colegii să iasă afară să se joace. Jocul lui Mihai spune că se dau N pătrate ce se află la anumite nivele iar din fiecare pătrat se poate sări doar în anumite pătrate stabilite la începutul jocului. Dacă un jucător sare dintr-un pătrat aflat la nivelul X într-un pătrat aflat la un nivel mai mare Y, acesta folosește un efort egal cu [Y/X], iar dacă sare într-un pătrat aflat la un nivel mai mic sau egal Y, efortul folosit este [X/Y]. Jucătorul se află la început în pătratul de start S și scopul jocului este să ajungă în pătratul final F, depunând un efort minim.

Cunoscând numărul de pătrate N, pătratul de start S, pătratul final F și pentru fiecare pătrat, pătratele în care jucătorul poate sări, se cere:

a) Efortul minim necesar pentru a ajunge în pătratul final.
b) Pătratele pe care jucătorul le sare până ajunge la pătratul final.

N oraşe sunt conectate între ele prin M autostrăzi bidirecţionale, fiecare autostradă (a, b) având un cost de tranzit c ataşat. Se doreşte revizuirea sistemului de taxare, însă sunt câteva aspecte ce trebuie luate în calcul şi necesită investigaţie, deoarece o parte dintre cele N oraşe sunt centre comerciale sau turistice importante. Se doreşte să se afle răspunsul la o serie de Q întrebări de forma: (X, T) – câte dintre celelalte N-1 oraşe au acces către oraşul X, cu o taxă totală de cel mult T către fiecare oraş?