Baze de numerație

Există 10 categorii de oameni: cei care înțeleg sistemul binar și cei care nu-l înțeleg!

Oamenii sunt obișnuiți să folosească numerele în baza 10, adică să folosească sistemul de numerație zecimal. Un număr scris în baza 10 va avea cifrele 0, 1, 2, …, 9 – resturile posibile la împărțirea cu 10. Știm deja că există sistemul de numerație binar, în baza 2. Cifrele sunt 0 și 1 – resturile posibile la împărțirea cu 2.

Există oare și alte baze de numerație? Răspunsul este afirmativ, orice număr natural b mai mare decât 1 poate fi considerat bază de numerație, iar cifrele folosite în baza b sunt 0, 1, 2, …, b-1. În contextul computerelor sunt utilizate frecvent bazele 10, 2, 8 și 16. Să le analizăm:

• numerele scrise în baza 10 vor conține cifrele: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
• numerele scrise în baza 2 vor conține cifrele: 0 1
• numerele scrise în baza 8 vor conține cifrele: 0 1 2 3 4 5 6 7
• ce facem cu baza 16? Cele spuse mai sus conduc la ideea că cifrele trebuie să fie 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 – resturile posibile la împărțirea cu 16, dar apare o întrebare: Care sunt cifrele numărului 112(16)? Are trei cifre, 1, 1 și 2? Are două cifre, 11 și 2 sau 1 și 12? Este o situație confuză, inacceptabilă, astfel că, pentru cifrele cu valorile 10 11 12 13 14 15 se folosesc următoarele notații:
  • 10 se notează cu A (sau a)
  • 11 se notează cu B (sau b)
  • 12 se notează cu C (sau c)
  • 13 se notează cu D (sau d)
  • 14 se notează cu E (sau e)
  • 15 se notează cu F (sau f)
• cu convențiile de mai sus, situația numărului 112(16) este clarificată: are trei cifre, 1, 1 și 2. Dacă dorim să scriem numărul cu două cifre cu valorile 11 și 2, vom avea: B2(16).

Transformarea din baza 10 în baza b

Cum transformăm un număr oarecare n din baza 10 într-o bază oarecare, b? Algoritmul de transformare este foarte asemănător cu cel de determinare a cifrelor în baza 10. De fapt, este chiar identic, doar că baza nu este 10, ci b. Mai exact:

• împărțim numărul n la b. Obținem un cât și un rest;
• împărțim câtul la b. Obținem un cât și un rest;
• împărțim noul cât la b și obținem un cât și un rest;
• continuăm împărțirile până când obținem câtul 0;
• resturile obținute, scrise în ordinea inversă obținerii, reprezintă scrierea în baza b a lui n.

Exemplu: să transformăm numărul 24 din baza 10 în baza 2. Efectuăm împărțirile:

$$ \begin{align}
24 : 2 & = 12 \text{ rest } 0\\
12 : 2 & = 6 \text{ rest }0 \\ 6 : 2 & = 3 \text{ rest }0 \\ 3 : 2 & = 1 \text{ rest }1 \\ 1 : 2 & = 0 \text{ rest }1 \\
\end{align} $$

Scriem resturile în ordine inversă și obținem: 24(10) = 11000(2). Să observăm că am obținut cifrele în ordinea inversă față de poziția lor în număr!!

Cum folosim această transformare într-un program? Dacă dorim să afișăm cifrele reprezentării în baza b, le putem afișa în ordinea determinării. Pentru a le afișa în ordinea din număr ar trebui să le stocăm pe toate într-o structură de date convenabilă – de exemplu un tablou. De asemenea, le putem număra, aduna, determina maximul, etc.

Secvența C++ de mai jos determină cea mai mare cifră a reprezentării în baza b a numărului n.

cmax = 0;
cin >> n >> b;
while(n)
{
    int cif= n % b;
    if(cif > cmax)
        cmax = cif;
    n /= b;
}

Transformarea din baza b în baza 10

Pentru transformarea numărului \({ {c_k}{c_{k-1}} … {c_1}{c_0}}_{(b)} \) din baza b în baza 10 folosim formula \({ {c_k}{c_{k-1}} … {c_1}{c_0}}_{(b)} = c_k \cdot b^k + c_{k-1} \cdot b^{k-1} + … + c_1 \cdot b + c_0 \), în care operațiile de adunare, înmulțire și ridicare la putere se fac în baza 10. De fapt această formulă este echivalentă cu reprezentarea zecimală a numerelor, de exemplu: \( 253_{(10)} = 2 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0 \).

Exemplu $$ \begin{align}
11000_{(2)} & = 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 \\ & = 1 \cdot 16 + 1 \cdot 8 \\ & = 16 + 8 \\ & = 24 \\
\end{align} $$

Algoritmul: Să presupunem că se citește baza b, numărul n de cifre ale numărului în baza b, apoi cifrele. Determinarea reprezentării în baza 10 este:

cin >> b >> n;
int rez = 0;
for(int i =1 ; i <= n ; i ++)
{
    int x;
    cin >> x;
    rez = rez * b + x;
}
cout << rez;

Transformarea din baza b în baza d

De regulă, pentru transformarea dintr-o bază oarecare b într-o bază oarecare d se folosește ca “bază de manevră” baza 10. Mai exact:

• se dă un număr x în baza b
• se transformă numărul x din baza b în baza 10 și se obține un număr y
• se transformă numărul y din baza 10 în baza d și se obține rezultatul final

Transformări intre baze puteri ale lui 2

Un caz particular îl constituie transformările între baza 2 și altă bază care este putere a lui 2. De exemplu, să analizăm reprezentările în bazele \(2\) și \(16\) ale numărului \( 2018_{(10)}\):

• \(16 = 2^4\)
• \( 2018_{(10)} = 7E2_{(16)}\)
• \( 2018_{(10)} = 111 1110 0010_{(2)}\)
• dacă grupăm cifrele din baza 2 câte 4 (deoarece \(16 = 2^4 \)), \( 2018_{(10)} = 111 1110 0010_{(2)} = 111.1110.0010_{(2)}\)
• dacă transformăm fiecare grupă din baza 2 în baza 16 vom obține:
  • \( 111_{(2)} = 7_{(16)}\)
  • \( 1110_{(2)} = E_{(16)}\)
  • \( 0010_{(2)} = 2_{(16)}\)

Vom proceda astfel, pentru transformarea din baza 2 în baza 16 – algoritmul este similar și pentru alte baze, putere al ui 2:

• numărul în baza 2 se împarte în grupe de câte 4 cifre. Prima grupă poate fi incompletă.
• transformăm fiecare grupa în baza 16, de la sfârșit spre început, obținând câte o cifră.
• scriem rezultatul în baza \(16\).

Cum facem transformarea inversă, din baza 16 în baza 2?

• transformăm fiecare cifră a numărului din baza 16 în baza 2. Vom obține pentru fiecare cifră un șir cu cel mult 4 biți.
• dacă un șir conține mai puțin de 4 biți, îl completăm cu zerouri nesemnificative, cu excepția primului grup (corespunzător primei cifre)
• scriem șirurile de biți în ordine, obținând reprezentarea în baza 2

Exemplu: Transformăm numărul \( 7E2_{(16)}\) în baza 2:

• transformăm cifrele din baza 16 în baza 2
  • \( 7_{(16)} = 111_{(2)}\) – este prima cifră, nu completăm cu zerouri
  • \( E_{(16)} = 1110_{(2)}\) – are patru cifre, nu completăm cu zerouri
  • \( 2_{(16)} = 10_{(2)} = 0010_{(2)}\) – are doar două cifre; completăm cu două zerouri la început, pentru a obține patru cifre
• scriem reprezentarea în baza 2:
  • \( 7E2_{(16)} = 11111100010_{(2)}\)

Probleme

CifBin CifreBinare BazaMinima transfB baze douabaze baza16 bazaB Hex pretios Coduri