Lista de probleme 3

Cei N elevi participanți la olimpiadă au fost invitați să admire panorama orașului din roata cu N locuri instalată în Orășelul Copiilor. Fiecare elev poartă un tricou inscripționat cu un număr natural, numerele de pe tricouri fiind diferite două câte două și având valori cuprinse între 1 și N. Inițial, ei ocupă toate cele N locuri din roată, începând cu cel mai de jos scaun și continuând cu următoarele scaune, în sensul acelor de ceasornic. Roata se mișcă circular, în sensul acelor de ceasornic, cu un număr de poziții, se oprește și elevul aflat pe scaunul cel mai de jos coboară. În continuare, ea se rotește în același sens, un număr mai mare de poziții, apoi se oprește și coboară elevul aflat pe scaunul cel mai de jos și așa mai departe până când coboară toți elevii.
Cunoscându-se numărul N de elevi, precum și numerele de pe tricouri, în ordinea în care elevii se află inițial în roată, să se determine N numere reprezentând pozițiile cu care roata se mișcă circular pentru a coborî fiecare elev, astfel încât elevii să coboare din roată în ordinea crescătoare a numerelor de pe tricou. Cele N numere de poziții trebuie să fie în ordine strict crescătoare, iar numărul total de poziții trebuie să fie minim.

Maria iubește numerele prime. Ea scrie pe o foaie de hârtie, în ordine strict crescătoare, un șir format din numerele prime care au cel puțin două cifre. Apoi, din numerele care conțin mai mult de două cifre taie cifrele din stânga, astfel încât să rămână exact două cifre. Dacă după tăierea cifrelor numărul obținut nu este cuprins între 10 și 99, numărul este eliminat din șir. De exemplu, numărul prim 101, care are trei cifre, nu va fi scris, deoarece i se taie cifra din stânga, rezultând numărul 01, adică 1, care nu are exact două cifre, deci după tăiere va fi eliminat din șir.
Maria umple un tabel cu 2 * k linii și k coloane, astfel încât, parcurgându-l pe linii, de sus în jos și fiecare linie de la stânga la dreapta, se obțin numerele din șir. Studiind numerele din tabel, constată că printre acestea se află și numere care nu sunt prime. Cunoscând un număr natural k nenul și un număr natural x, ajutați-o pe Maria:
1. Să determine suma numerelor din tabel care nu sunt prime. Dacă nu există numere care nu sunt prime, suma are valoarea 0.
2. Să aleagă x coloane consecutive din tabel, astfel încât acestea să conțină, în total, un număr maxim de numere prime. Dacă există mai multe posibilități, se va alege secvența de coloane consecutive care are o valoare cât mai mare a coloanei de început din secvență. Să se determine numărul primei coloane din secvența aleasă, precum și numărul total de numere prime din secvență.

Regina stupului este plecată, iar cele N albinuțe nou născute trebuie hrănite. Maya este albina care trebuie să îndeplinească această sarcină. Maya își face un plan pentru a putea acționa. Pentru fiecare albinuță, Maya pornește dintr-o celulă inițială ce conține cantitatea de miere necesară și se deplasează din celulă în celulă, până la albinuța pe care o va hrăni.
Un fagure este format din coloane numerotate cu litere mari ale alfabetului englez de la A la Z, iar poziția fiecărei celule de pe o coloană este identificată prin valori 1, 2, 3, 4, 5, … de jos în sus, ca în figură. Fiecare celulă a fagurelui are formă hexagonală. Dintr-o celulă se poate ajunge în cele 6 celule vecine, prin deplasarea în direcțiile: 1 – sus, 2 – dreapta sus, 3 – dreapta jos, etc. Fagurele este circular, astfel după coloana Z urmează, spre dreapta, coloana A, iar înainte de coloana A se află, la stânga, coloana Z. Știind care sunt adresele celulelor din care va pleca Maya, se cere:
1. Să se afișeze coloanele care conțin cele mai multe celule inițiale.
2. Cunoscând, în plus, secvențele de mutări pe care le va executa Maya, pentru a ajunge la fiecare albinuță, se cer adresele celor N celule destinație.