Lista de probleme 3

Pe Aeroportul Internaţional Iaşi urmează să se organizeze un spectacol de acrobaţiuni aviatice, cu ocazia sărbătoririi centenarului României.

Fiecare dintre cei n piloţi înscrişi va pilota câte un avion. La înscriere, pilotul primeşte un cod \( {p}_{i} \) şi avionul său un cod \( {a}_{i} \). Astfel, fiecare pilot i poate afla codul spectacolului pe care îl va prezenta publicului, calculând cel mai mare divizor comun dintre codul său şi cel al avionului pe care îl pilotează: \( cmmdc( {p}_{i} , {a}_{i} ) \).

Un pilot poate fi considerat „spectaculos” dacă codul spectacolului său este multiplul unui număr x dat. Organizatorul evenimentului a vrut să le facă spectorilor o surpriză şi a infiltrat printre piloţii spectaculoşi nişte piloţi „legendari” (ale caror spectacole vor fi de asemenea multiplu al numărului x). Totodată, organizatorul concursului a stabilit o metodă prin care un pilot „legendar” să poată fi identificat: pe langă caracteristicile unui pilot special, spectacolul unui pilot legendar va avea exact 2 divizori primi.

Fiind mult prea concentrat pe organizarea spectacolului acrobatic, organizatorul a pierdut din greşeală lista cu numele piloţilor care sunt „spectaculoşi” şi „legendari”, însă încă mai are lista cu toate codurile participanţilor. Având la dispoziţie o singură zi pâna la finalizarea înscrierilor el vă cere ajutorul pentru a gasi numărul de piloţi „spectaculoşi” şi „legendari”.

Într-o zi, câțiva copii plictisiți de “Popa Prostul”, au inventat jocul “Popa Prostul 2”. Acest joc se joacă cu mai multe cartonașe identice. La început, fiecare jucător primește un număr de cartonașe. Primul jucător pune pe masă un număr de cartonașe egal cu cel mai mare divizor al numărului de cartonașe pe care îl avea în mână. Următorul pune un număr maxim de cartonașe, divizor al numărului de cartonașe pe care le are în mână, dar și divizor al numarului de cartonașe pus de jucatorul dinainte. Jocul continuă până când unul dintre copii pune jos un singur cartonaș. Jucătorul care va fi nevoit să pună un singur cartonaș va fi pierzătorul.

Dându-se numărul n de copii și numărul de cartonașe pe care îl primește fiecare, să se determine numarul de ordine al copilului care va pierde jocul.

La grădinița Prichindel sunt copii cuminți și copii obraznici. Moș Crăciun a adus cadouri doar pentru câțiva copii cuminți. Problema este că nu se știe exact care copil e obraznic și care este cuminte. Ajutați-o pe doamna educatoare să afle care copil primește cadou și care nu. Se cunoaște faptul că la grădiniță sunt exact n copii și fiecare copil are inscripționat pe uniformă un număr natural nenul, distinct.

În prima etapă, sunt scoși din lista Moșului copiii obraznici care sunt cei ce au inscripționate pe uniformă numere prime. În a două etapă, din copiii rămași, sunt scoși și cei care au suma cifrelor de pe pozițiile impare egală cu un număr prim (cifrele se numerotează de la stânga la dreapta, începând cu poziția 1, corespunzătoare cifrei cea mai semnificative).

În a treia etapă (ultima), se elimină din lista copiilor cuminți rămași după primele două etape, din k în k până când se ajunge la capătul listei.

Să se determine copiii care au rămas pe lista copiilor cuminți după toate cele trei etape eliminatorii, sau mesajul “Toti copiii sunt obraznici!”, dacă toți copiii au fost eliminați.