Lista de probleme 6

După cum probabil ştiţi, contabilii îşi ţin datele sub formă de tabele şi calculează tot felul de sume pe linii şi pe coloane. Contabilul nostru Atnoc şi-a organizat valorile sub forma unui tabel cu n linii (numerotate de la 1 la n) şi m coloane (numerotate de la 1 la m). Elementele de pe ultima coloană sunt sumele elementelor de pe linii (mai exact, elementul de pe linia i şi coloana m este egal cu suma elementelor de pe linia i aflate pe coloanele 1, 2, …, m-1), iar elementele de pe ultima linie sunt sumele elementelor de pe coloane (mai exact, elementul de pe linia n şi coloana i este egal cu suma elementelor de pe coloana i aflate pe liniile 1, 2, …, n-1).

Mircea este pasionat de programare. El a început să rezolve probleme din ce în ce mai grele. Astfel a ajuns la o problemă, care are ca date de intrare un tablou pătratic cu n linii şi n coloane, componente tabloului fiind toate numerele naturale distincte de la 1 la n2. Pentru a verifica programul pe care l-a scris îi trebuie un fişier care să conţină tabloul respectiv. După ce a creat acest fişier, fratele său, pus pe şotii îi umblă în fişier şi îi schimbă câteva numere consecutive, cu numărul 0. Când se întoarce Mircea de la joacă constată cu stupoare că nu îi merge programul pentru testul respectiv. După câteva ore de depanare îşi dă seama că programul lui este corect şi că fişierul de intrare are probleme.

Fiind elev în clasa a IX-a, George, îşi propune să studieze capitolul divizibilitate cât mai bine. Ajungând la numărul de divizori asociat unui număr natural, constată că sunt numere într-un interval dat, cu acelaşi număr de divizori. De exemplu, în intervalul [1, 10], 6, 8 şi 10 au acelaşi număr de divizori, egal cu 4. De asemenea, 4 şi 9 au acelaşi număr de divizori, egal cu 3 etc.

Scrieţi un program care pentru un interval dat determină care este cel mai mic număr din interval ce are număr maxim de divizori. Dacă sunt mai multe numere cu această proprietate se cere să se numere câte sunt.

Ion este un lingvist pasionat. Recent el a descoperit un text scris într-o limbă necunoscută. Textul este scris pe mai multe linii şi este format din cuvinte scrise cu litere mici din alfabetul latin, separate prin spaţii sau/şi semne de punctuaţie (,:;.!?-). Ion a fost frapat că există multe similitudini între cuvintele din text. Fiind foarte riguros, Ion definește similitudinea a două cuvinte după cum urmează. Fie c1 şi c2 două cuvinte. Cuvântul c1 poate fi obţinut din cuvântul c2 printr-o succesiune de operaţii elementare. Operaţiile elementare ce pot fi folosite sunt:

• move(c1, c2) – Mută primul caracter din c1 la sfârşitul cuvântului c2 (de exemplu, dacă c1="alba" şi c2="neagra", după efectuarea operaţiei move(c1, c2), c1 va fi "lba", iar c2 va fi "neagraa")
• insert(c1, x) – Inserează caracterul x la începutul lui c1 (de exemplu, dacă c1="alba" şi x='b', după executarea operaţiei insert(c1,x), c1 va fi "balba")
• delete(c1) – Şterge primul caracter din c1 (de exemplu, dacă c1="alba", după executarea operaţiei delete(c1), c1 va fi "lba")

Definim similitudinea dintre c1 şi c2 ca fiind numărul minim de operații insert şi delete ce trebuie să fie executate pentru a transforma cuvântul c1 în cuvântul c2 (operațiile move nu se numără).
Fie c0 primul cuvânt din text. Începând cu c0 putem construi lanțuri de k-similitudine.
Un lanţ de k-similitudine este o succesiune de cuvinte distincte din text cu următoarele proprietăți:

• dacă cuvântul x apare în lanţ înaintea cuvântului y, atunci prima apariţie a lui x în text precedă prima apariţie a lui y în text;
• dacă x şi y sunt cuvinte consecutive în lanţ (în ordinea x y), atunci similitudinea dintre x şi y este mai mică sau egală decât k;
• lanţul este maximal (adică nu putem adăuga încă un cuvânt la sfârşitul acestui lanţ, astfel încât să fie respectate proprietăţile precedente).

Scrieţi un program care să determine numărul de lanţuri de k-similitudine care încep cu c0.

Domnul G are de urcat o scară cu n trepte. În mod normal, la fiecare pas pe care îl face, el urcă o treaptă. Pe k dintre aceste trepte se află câte o sticlă cu un număr oarecare de decilitri de apă, fie acesta x. Dacă bea toată apa dintr-o astfel de sticlă, forța și mobilitatea lui G cresc, astfel încât, la următorul pas el poate urca până la x trepte, după care, dacă nu bea din nou ceva, revine la “normal”. Sticlele cu apă nu costă nimic. Cantitatea de apă conținută de aceste sticle poate să difere de la o treaptă la alta.
Pe j trepte se află câte o sticlă cu băutura energizantă. Şi pentru aceste sticle, cantitatea de băutură energizantă poate să difere de la o treaptă la alta. Să presupunem că într-una dintre aceste sticle avem y decilitri de băutură energizantă. Dacă bea q (q ≤ y) decilitri dintr-o astfel de sticlă, la următorul pas G poate urca până la 2q trepte, după care şi în acest caz, dacă nu bea din nou ceva, el revine la “normal”. Însă băutura energizantă costă: pentru o cantitate de q decilitri consumaţi, G trebuie să plătească q lei grei.
Pot exista trepte pe care nu se află nici un pahar, dar şi trepte pe care se află atât o sticlă cu apă cât şi una cu băutură energizantă. În astfel de situaţii, nu are rost ca G să bea ambele băuturi deoarece efectul lor nu se cumulează; el poate alege să bea una dintre cele două băuturi sau poate să nu bea nimic.
Determinaţi p, numărul minim de paşi pe care trebuie să îi facă G pentru a urca scara, precum şi suma minimă pe care trebuie să o cheltuiască G pentru a urca scara în p paşi.

Se consideră o matrice dreptunghiulară cu m linii şi n coloane, cu valori naturale. Traversăm matricea pornind de la colţul stânga-sus la colţul dreapta-jos. O traversare constă din mai multe deplasări. La fiecare deplasare se execută un salt pe orizontală şi un pas pe verticală. Scrieţi un program care să determine suma minimă care se poate obţine pentru o astfel de traversare.