Lista de probleme 13

În camera copiilor problema spațiului este esențială. De aceea locul unde sunt depozitate jucăriile este asemănător unei matrici pătratice, dispuse vertical, fiecare jucărie ocupând un locație bine stabilită.

Entuziasmul și bucuria copiilor în a se juca este bine cunoscută, dar și ”disponibilitatea” acestora de a ordona (reașeza) jucăriile la locul prestabilit este proverbială. Cum, după o rundă de joacă, întotdeauna urmează un episod din serialul de desene animate preferat, copii așează la întâmplare jucăriile.

Cunoscând numărul M de jucării, iar pentru fiecare jucărie locația în care copii au pus jucăria (linie, coloană), precum și locația unde trebuie corect pusă aceasta (linie, coloană), ajutați bona să reașeze jucăriile astfel încât numărul de mutării să fie minim. În cazul în care locația unde trebuie mutată o jucărie este ocupată, atunci bona depozitează temporar jucăria într-o locație specială, dacă este liberă, până când locația unde trebuie mutată se va elibera.

Să se determine:

• numărul minim de mutări ce nu necesită folosirea locației speciale
• numărul minim de mutări necesar rearanjării tuturor jucăriilor

Se dă un şir format din N numere naturale nenule. Spunem că un număr e fericit dacă se poate scrie ca suma pătratelor a două numere naturale. Notăm cu K numărul numerelor fericite din şir şi cu P produsul acestora. Aflaţi numărul K precum şi două numere naturale care au suma pătratelor egală cu PE, unde E este un număr natural dat.

Tânărul Pagnad își dorește foarte mult să se poată juca jocul lui preferat, dar pe mama lui a apucat-o curățenia prin casă. După ce s-au împărțit sarcinile el a rămas să facă curat la papuci. Acesta are papucii așezați pe două etajere, fiecare papuc are pereche. Acesta poate efectua două tipuri de operații asupra papucilor, poate să ridice un papuc și să-l pună într-un anumit loc sau să împingă un papuc.
Pagnad trebuie să aranjeze papucii astfel încât fiecare papuc să aibe perechea lângă el. Deoarece acesta este un leneș, își dorește să ridice greutăți cât mai mici, deoarece fiecare papuc este caracterizat printr-o greutate. Aflați care este greutatea maximă pe care trebuie să o ridice Pagdan. Se consideră că fiecare pereche are greutăți diferite și că nu există două perechi asemănătoare.

Cifrele de la 1 la K se scriu într-un şir, iar secvenţa obţinută se repetă la nesfârşit. De exemplu, pentru K=9 se obţine şirul: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …. Asupra unui asemenea şir se aplică succesiv operaţia de rostogolire de lungime P, ce presupune ca blocul format cu cifrele de pe primele P poziţii să se rotească cu 1800 şi să se scrie deasupra următoarei secvenţe de lungime P.
Astfel pe primele P poziţii se formează un bloc având la bază P cifre şi înălţimea N+1, unde N este numărul de rostogoliri de lungime P.
Pentru K, P şi N date se cer următoarele:
a) Suma elementelor blocului după N rostogoliri de lungime P.
b) Suma maximă a elementelor de pe o coloană a blocului după N rostogoliri de lungime P.
c) Dacă liniile blocului le privim ca pe nişte numere cu P cifre, să se afle cel mai mic dintre aceste numere ale blocului obţinut după N rostogoliri de lungime P.

Andreea a primit de ziua ei un joc cu cifre de plastic, din fiecare cifră nenulă având 30 de exemplare. Cifrele se aflau într-un săculeţ, iar Andreea s-a gândit să scoată la întâmplare un număr oarecare de cifre din săculeţ, să efectueze produsul lor, şi dacă obţinea un număr mai mic decât 1.000.000.001 pe care nu-l mai obţinu-se până atunci, îl scria pe un cartonaş, punând apoi cifrele înapoi în săculeţ. Astfel, după o muncă asiduă, a scris toate numerele posibile pe cartonaşe. Prietena ei, Ana, făcându-i o vizită, a văzut cartonaşele, a luat la întâmplare unul dintre ele şi a calculat cel mai mare divizor comun al numărului de pe cartonaşul luat cu fiecare număr de pe cartonaşele rămase, scriind pe fiecare dintre cartonaşele rămase rezultatul obţinut. Dacă se cunosc numerele aflate pe N cartonaşe dintre cele scrise de Andreea şi Ana, aflaţi numărul de pe cartonaşul luat de Ana.

Fie a un număr natural scris în baza 10. Notăm cu b, baza minimă în care poate fi scris a. Astfel, dacă a=21756, atunci baza minimă în care acesta poate fi scris este b=8.
Definim cifra de control a numărului a scris în baza b, notată cu c=digit(a)b, ca fiind numărul de o cifră obținut prin adunarea în baza b a cifrelor numărului a. Dacă rezultatul obținut este de o cifră, atunci acesta reprezintă valoarea lui c, dacă nu, se aplică repetat asupra rezultatului procedeul de însumare a cifrelor în baza b până când se obține o cifră.

De exemplu:

• c=digit(21756)₈=digit(2+1+7+5+6)₈=25, întrucât c>8 procedeul continuă
• c=digit(25)₈=digit(2+5)₈=7.

Se consideră un interval închis [x,y]. Să se determine:

• a – primul număr prim mai mare sau egal ca x
• b – baza minimă în care poate fi scris numărul prim a
• c – cifra de control a numărului prim a
• n – numărul de numere prime din intervalul [x,y] ce pot fi scrise în baza b și au cifra de control egală cu c.

Fie secvența S(x) care se construiește astfel:

• S(1) = x
• S(n + 1) = S(n) XOR [S(n) / 2], unde [x] se definește ca parte întreagă din x, iar XOR este operația clasică „sau exclusiv”.

Dându-se un număr natural k, aflați numărul de numere naturale x pentru care S(k + 1) = S(1) = x este adevărat. Deoarece numărul poate fi foarte mare, afișați rezultatul modulo 1000000007.

Tanărul Pagnad proaspăt ajuns la facultate, vrea să prindă și el ceva. Fiind nemulțumit de celebra aplicație Tinder acesta dorește să-și creeze propria lui aplicație. Aplicația se folosește de datele strânse de pe diferite rețele de socializare ale utilizatorului și le codează într-o matrice. Stați calmi, nu trebuie sa creați voi matricea, dar pentru a-și studia compatibilitatea cu o persoana Pagnad se folosește de următoarele noțiuni.

Acesta definește o structură de dimensiune k o submatrice pătratică de latura k. Compatibilitatea se stabilește în funcție de câte perechi de două structuri, nu neapărat de aceleași dimensiuni, dar de sumă egală se găsesc în două matrici (prima structură trebuie să aparțină primei matrici, a doua celei de-a doua matrici).

Definim o structură prin coordonatele colțului stânga sus (x,y) și dimensiunea laturii acesteia k. Două perechi x1, y1, k1 și x2, y2, k2 sunt diferite daca: x1≠x2 sau k1≠k2 sau daca x1=x2 si k1=k2 si y1≠y2 sau x1=x2, y1=y2 si k1≠k2 (acestea fac referință pentru submatrice din aceeași matrice).

Se cere să se afle compatibilitatea între cele două matrice.

IceManLucky joacă League of Legends când dintr-o dată calculatorul i se blochează şi pe ecran îi apare bine cunoscutul blue screen. Pe ecran el vede acum 2N numere reale : a₁ , a₂ , …, a_2n. Având un calculator mai special, IceManLucky ştie că există o singură soluţie ca să remedieze problema. El efectuează N operaţii consecutiv, o operaţie constând în :

- alege 2 indecşi i şi j (i ≠ j), pe care nu i-a mai ales anterior
- rotunjeşte ai la cel mai apropriat număr întreg care nu este mai mare ca ai
- rotunjeşte aj la cel mai apropriat număr întreg care nu este mai mic ca aj

Scopul lui IceManLucky este ca diferenţa absolută dintre suma numerelor apărute iniţial pe ecran şi suma numerelor după efectuarea celor N operaţii descrise mai sus să fie minimă.

Ion și Gheorghe au primit moștenire două parcele de pământ de formă poligonală. Într-o zi, Ion l-a văzut pe Gheorghe că a folosit o parte din bucata lui. Certându-se, aceștia au remarcat că acea bucată era parte din moștenirea amândurora. Au hotărât să se ducă la judecată și să se rezolve eroarea care a făcut ca parcelele moștenite să se intersecteze. Dar cum procesul va începe destul de târziu, au hotărât să nu folosească acea bucată comună până nu va fi rezolvată problema.