Lista de probleme 6

Într-un loc îndepărtat amplasat strategic, se află mai mulţi soldați identificaţi prin numere naturale nenule unice. Ordinea și disciplina militară impun aşezarea soldaților în linie la apelul de dimineață. Fiecare soldat a primit la sosirea în unitate numărul său și numerele de identificare ale camarazilor care trebuie să fie în stânga și în dreapta sa la aliniere. Excepţie fac doi soldaţi santinele care primesc doar numărul propriu de identificare şi se vor aşeza pe prima, respectiv pe ultima poziţie din linie. Uneori, unii soldaţi sunt plecați în misiuni, iar apelul de dimineaţă în unitate se face astfel: fiecare dintre cei prezenţi strigă cele trei numere primite – numărul lui, numărul camaradului din stânga lui şi al camaradului din dreapta lui, chiar dacă aceștia lipsesc.

Ei nu ştiu însă că, după un zid, stă pitită spioana Bulbuka, trimisă în recunoaștere. Ea îi ascultă şi înregistrează toate tripletele de numere care sunt strigate. După cele trei numere strigate de fiecare soldat, Bulbuka, fiind foarte inteligentă, deduce corect câte grupuri de soldaţi care și-au strigat prezența sunt până în momentul respectiv. Ea consideră că un grup este format din toţi acei soldaţi care şi-au strigat propriul număr şi care sunt aşezaţi unul lângă celălalt (dacă un soldat a strigat numărul camaradului, acesta din urmă nu este inclus în grup decât dacă a strigat şi el propriul număr).

Aflați care sunt numerele de grupuri de soldați deduse de Bulbuka în fiecare moment.

Un superstring este un şir infinit format din numere naturale nenule scrise fără spaţii între ele, începând cu 1: 1223334444...1010... (fiecare număr x apare de exact x ori).

Să se răspundă la T întrebări de forma: Ce cifră se află în superstring pe poziţia k?

Se dau N puncte în spațiul 3D prin coordonatele lor. Dorim să amplasăm două cuburi cu laturile paralele cu axele de coordonate, astfel încât fiecare punct să se afle pe una dintre feţele sau în interiorul a cel puțin unuia dintre cuburi. În plus, latura cubului de latură maximă dintre cele două trebuie să fie minimă.

Scrieţi un program care să determine latura cubului de latură maximă pentru două cuburi care realizează acoperirea mulțimii de puncte în condiţiile de mai sus.

În premieră în acest an, pentru a putea ridica marele trofeu “Urmașul lui Moisil” vor fi necesare o serie de ștampile ce se obțin de la Primărie.

La Primăria din Iași sunt N camere numerotate de la 1 la N. În fiecare cameră există câte o ștampilă pe care apare o literă mică a alfabetului englez a-z. Pot exista camere cu același caracter pe ștampilă.

În instituţie sunt două categorii de camere, în funcţie de modul în care acordă ștampilele:

• camere simple – se aplică ștampila camerei imediat, fără a fi necesare ştampilele din alte camere.
• camere complicate – Mecanismul birocratic intră în acţiune! Funcţionarul unei astfel de camere i aplică ştampila pe cerere apoi solicită obţinerea în ordine a ştampilelor camerelor c[i1], c[i2] ... c[iLg], toate aceste camere având numere mai mari strict decât i. După fiecare ștampilă obținută în camerele specificate, aplică și el, încă o dată, ştampila camerei sale. Spunem că această cameră complicată este dependentă de fiecare dintre camerele din lista asociată, care pot fi la rândul lor simple sau complicate.

Pentru ca festivitatea de premiere să nu înceapă prea târziu , câștigătorul trofeului trebuie să raspundă repede la M întrebări de tipul (q,k): care este litera de pe poziția k a șirului de ștampile obținut de la camera q?

După ce a ajutat la conectarea oraşelor Nordemos şi Suderim, Negrimon s-a hotărât să-şi urmeze destinul şi să devină un programamon roşu. Pentru a-şi începe călătoria, este nevoit să părăsească Udobje Lurrak şi să treacă prin Sha’ar Azih, poarta magică de la ieşirea din oraşul Estumar. Această poartă se bazează pe un sistem de runix-uri aşezate în linie, numerotate de la 1 la N. Un runix este un pătrat pe care este înscrisă o literă mică, din mulţimea
unui alfabet restrâns, format din primele L litere ale alfabetului englez. Alfabetul restrâns este circular, astfel încât după ultima literă urmează prima, iar înainte de prima literă este ultima literă din alfabet.

În starea iniţială a sistemului, primul runix este setat pe litera a, al doilea runix este setat pe următoarea literă din alfabetul restrâns ş.a.m.d .

Când Negrimon ajunge la poartă, aceasta prinde viaţă şi se produce un şir de acţiuni de următorul tip:

1. Runix-ul cu numărul r împreună cu toate runix-urile din stânga se deplasează şi se separă de cele din dreapta (dacă există), formându-se astfel două grupuri independente (iniţial toate runix-urile formează un singur grup).
2. Toate runix-urile din grupul din care face parte runix-ul cu numărul r execută o schimbare de pas p. Aceasta constă în înlocuirea literei asociate cu următoarea a p-a literă din alfabet (p > 0) sau cu precedenta a (-p)-a literă din alfabet (p < 0). Datorită circularităţii alfabetului, oricât de mare ar fi p va exista o literă care să fie la
distanţa p faţă de litera actuală.
3. Negrimon primeşte o întrebare de tipul: pe ce literă este setat runix-ul cu numărul r?

Poarta se deschide dacă Negrimon răspunde corect la toate întrebările primite şi astfel își poate continua călătoria în Azih Lurrak.

Ajutaţi-l pe Negrimon să deschidă poarta.

Gigel are o bibliotecă cu T rafturi orizontale de diferite lungimi și T cutii cu cărți, câte o cutie pentru fiecare raft, în ordine. Cărţile dintr-o cutie au grosimi cunoscute și înălţimi egale cu înălţimea raftului pentru care sunt pregătite.

Gigel îşi doreşte foarte mult o bibliotecă nouă şi încearcă să o convingă pe mama sa folosind următoarea tactică: pe fiecare raft în parte el vrea să plaseze un număr minim de cărţi din cutia corespuzătoare astfel încât, așezându-le în anumite poziţii, să nu mai încapă nicio carte dintre cele rămase în acea cutie.

Ajutați-l pe Gigel să determine, pentru fiecare raft, numărul minim de cărți ce pot fi alese din cutia corespunzătoare pentru a fi plasate pe raft în condițiile de mai sus.