Lista de probleme 2

Trei ubuntzei au hotărât ca anul acesta să petreacă ziua de 1 Mai pe malul Mării Negre împreună cu prietenii lor, motiv pentru care au pus la cale o excursie pe un traseu care să plece din oraşul lor Cluj-Napoca spre Vama Veche, unde nisipul îi aşteaptă.

În ţara ubuntzeilor există N localităţi, numerotate de la 1 la N, legate între ele prin M şosele bidirecţionale de diferite lungimi. Localitatea de plecare a ubuntzeilor, oraşul Cluj-Napoca, este numerotată cu 1, iar localitatea destinaţie, Vama Veche, cu N. Între oricare două localităţi există cel mult o şosea. Fiecare şosea uneşte două localităţi distincte şi se poate călători între oricare două localităţi circulând numai pe şosele.
Prietenii ubuntzeilor locuiesc în K localităţi distincte, diferite de Cluj-Napoca şi Vama Veche. Pentru a nu călători singuri, cei trei ubuntzei vor să treacă prin cele K localităţi în care locuiesc prietenii lor, şi apoi, împreună cu aceştia, să-şi continue excursia către mare.

Nerăbdători să ajungă cât mai repede la destinaţie, ubuntzeii s-au hotărât să îşi stabilească un traseu de lungime minimă care să treacă prin toate cele K localităţi.

Scrieţi un program care să determine, pentru ubuntzei, lungimea minimă L a unui traseu de la Cluj-Napoca la Vama Veche ce trece prin toate cele K localităţi.

Constructorii angajaţi de faraonul Keops au terminat construirea piramidei în trepte mult visată. Măreaţa piramidă are n camere identice de formă cubică, numerotate de la 1 la n, dispuse pe m niveluri astfel:

• camera din vârful piramidei formează nivelul 1 şi are numărul 1;
• nivelul 2 al piramidei este format din următoarele 4 camere care în secţiune cu un plan paralel cu baza au aspectul unei matrice cu 2 linii şi 2 coloane; camerele de pe nivelul 2 sunt numerotate de la 2 la 5 în ordinea crescătoare a liniilor matricei, iar pe aceeaşi linie în ordinea crescătoare a coloanelor matricei;
  ………………..
• nivelul m al piramidei este format din m*m camere şi au, în secţiune cu un plan paralel cu baza, aspectul unei matrice cu m linii şi m coloane; camerele de pe nivelul m sunt numerotate în continuarea celor de pe nivelurile 1, 2,…, m-1, în ordinea crescătoare a liniilor matricei de secţiune, iar pe aceeaşi linie în ordinea crescătoare a coloanelor matricei. De exemplu, piramida din desenul de mai sus are n=30, m=4 iar camerele sunt numerotate şi dispuse pe niveluri astfel:

Nivelurile de camere sunt poziţionate astfel încât camerele de pe prima linie şi prima coloană a fiecărui nivel să se suprapună. Pentru exemplul dat, camerele 1, 2, 6 şi 15 sunt situate una sub alta, în această ordine.

Accesul în oricare din camerele piramidei, situate pe diferite niveluri, se realizează prin drumuri construite astfel:

• intrarea în piramidă se face doar prin camera din vârful ei, cea cu numărul 1;
• din camera cu numărul k de pe un drum se poate intra într-una din cele patru camere situate pe nivelul imediat următor al piramidei şi anume: camera situată sub cea cu numărul k sau una din cele trei camere vecine acesteia în secţiune (în direcţiile Est, Sud-Est, Sud, considerând secţiunile poziţionate ca în imaginile de mai sus). De exemplu, din camera cu numărul 10 se poate intra într-una din camerele cu numerele: 20, 21, 24 sau 25.

Faraonul priveşte cu mândrie şi tristeţe la frumoasa piramidă. Banii din visterie s-au împuţinat iar camerele piramidei trebuie finisate şi decorate. Scribul său favorit a refăcut toate calculele, a eliminat obiectele inutile şi a stabilit pentru fiecare cameră k un cost ck aferent finisării şi decorării ei (1≤k≤n).

Însă, suma totală necesară fiind încă mare, faraonul i-a cerut scribului să aleagă un drum, dintre cele construite, care să treacă prin toate nivelurile piramidei astfel încât suma s a tuturor costurilor aferente finisării şi decorării camerelor de pe acest drum să fie minimă. Deocamdată, doar aceste camere vor fi aranjate…

Scrieţi un program care să determine numărul m de niveluri ale piramidei, suma minimă s a tuturor costurilor aferente finisării şi decorării camerelor de pe un drum ce trece prin toate nivelurile piramidei, construit în modul descris în enunţ, precum şi un astfel de drum pentru care se obţine suma minimă, putând fi ales de scrib.