Lista de probleme 10

Pe o tablă de şah cu n linii şi n coloane se află firimituri de pâine şi o furnică. Pentru fiecare pătrăţel, inclusiv cel în care se găseşte furnica, aflat pe linia i şi coloana j, cantitatea de firimituri de pâine este egală cu restul împărţirii lui i+j la 6.

În sediul unei firme se intră doar cu ajutorul cartelelor magnetice. De câte ori se schimbă codurile de acces, cartelele trebuie formatate. Formatarea presupune imprimarea unui model prin magnetizare. Dispozitivul în care se introduc cartelele, numit cititor de cartele, verifică acest model. Toate cartelele au aceleaşi dimensiuni, suprafaţa pătrată şi grosimea neglijabilă. Cele două feţe plane ale unei cartele se împart fiecare în NxN celule pătrate, identice ca dimensiuni. Prin formatare unele celule, marcate cu negru în exemplu, se magnetizează permiţând radiaţiei infraroşii să treacă dintr-o parte în cealaltă a cartelei. În interiorul cititorului de cartele se iluminează uniform una dintre feţele cartelei. De cealaltă parte fasciculele de lumină care străbat cartela sunt analizate electronic. Pentru a permite accesul în clădire modelul imprimat pe cartelă trebuie să coincidă exact cu modelul şablonului care memorează codul de intrare. Prin fanta dispozitivului nu se pot introduce mai multe cartele deodată. Cartela se poate introduce prin fantă cu oricare dintre muchii spre deschizătura fantei şi cu oricare dintre cele două feţe orientate către şablon. După introducere cartela se dispune în plan paralel cu şablonul, lipit de acesta, astfel încât cele patru colţuri ale cartelei se suprapun exact cu colţurile şablonului. Modelele imprimate pe cele două feţe ale unei cartele sunt identice. Unei celule magnetizate îi corespunde pe faţa opusă tot o celulă magnetizată, iar unei celule nemagnetizate îi corespunde una nemagnetizată. O celulă magnetizată este transparentă pentru radiaţia infraroşie indiferent de faţa care se iluminează.

Un angajat al firmei are mai multe cartele. Pe unele dintre acestea a fost imprimat noul cod de intrare, iar pe altele sunt coduri mai vechi. Pentru a afla care sunt cartelele care-i permit accesul în sediul firmei angajatul este nevoit să le verifice pe toate, introducându-le pe rând, în toate modurile pe care le consideră necesare, în fanta cititorului de cartele.

Campania electorală s-a terminat de mult, dar zidul din parcul central al oraşului în care au fost puse afişele este încă într-o formă dezolantă. Ploile şi vântul au acţionat şi au urâţit şi mai mult această zonă pe care altă dată erau afişe frumos colorate. Primăria a decis să se ocupe de această problemă. A format o comisie şi a decis realizarea unor panouri reclamă care să ascundă porţiunile deteriorate. Deoarece fondurile sunt mici s-a decis să fie alocate doar un anumit număr de panouri publicitare care trebuie să ocupe o suprafaţă cât mai mică posibil. Comisia a primit datele din teren sub forma: lungime zid, câte unităţi sunt ocupate cu afişe ce trebuie acoperite şi care este numărul de panouri pe care le poate folosi. De asemenea se primesc ca date şi care sunt unităţile de zid ocupate cu afişe deja deteriorate.

Se consideră n puncte colorate dispuse în plan. Ele sunt identificate prin coordonatele lor întregi, pe axele OX și OY. Fiecare punct are asociat un număr natural între 1 și C reprezentând codul culorii lui. Un dreptunghi se numește corect dacă îndeplinește simultan următoare condiții:

• toate cele patru vârfuri se regăsesc printre cele n puncte date;
• are laturile paralele cu axele OX, OY;
• are vârfurile colorate în aceeași culoare.

Să se determine numărul maxim de dreptunghiuri corecte care se pot forma cu cele n puncte din plan.

Dexter a moştenit o avere fabuloasă, dar este închisă într-un seif. Unchiul său, cel care i-a lăsat averea, a dorit să îl pună la încercare astfel: a umplut o cutie foarte mare cu bileţele pe care sunt scrise numere naturale din mulţimea {0, 1, 2, ..., 99}. Pe fiecare bileţel este scris un singur număr. Dexter trebuie să formeze perechi de bileţele care au scrise pe ele acelaşi număr. La sfârşit, vor rămâne câteva bileţele fără pereche. Codul de acces la seif este format din numerele rămase pe bileţelele fără pereche, aşezate în ordine crescătoare şi fără spaţiu între ele.

Scrieţi un program care să furnizeze codul de acces la seif.

În vederea asigurării unei transmiteri cât mai exacte a informaţiilor pe reţea, transmiterea se efectuează caracter cu caracter, fiecare caracter fiind dat prin codul său ASCII, adică o grupă de 8 biţi (octet). Pentru fiecare 8 biţi transmişi se calculează un bit de paritate care are valoarea 0 (dacă codul ASCII al caracterului conţine un număr par de cifre binare 1) sau 1 (în caz contrar). Deoarece în problema noastră se transmit numai caractere ASCII standard, cu codul ASCII din intervalul [32,127], codul lor ASCII are bitul 7 (primul bit din stânga) egal cu 0. Pe această poziţie va fi pus bitul de paritate, economisind astfel câte un bit pentru fiecare caracter transmis.
Să se scrie un program care să verifice dacă un text a fost sau nu transmis corect.

Parcul oraşului a fost neglijat mult timp, astfel că acum toate aleile sunt distruse. Prin urmare, anul acesta Primăria şi-a propus să facă reamenajări. Parcul are forma unui pătrat cu latura de n metri și este înconjurat de un gard care are exact două porți. Proiectanții de la Primărie au realizat o hartă a parcului și au trasat pe hartă un caroiaj care împarte parcul în nxn zone pătrate cu latura de 1 metru. Astfel harta parcului are aspectul unei matrice pătratice cu n linii și n coloane. Liniile și respectiv coloanele sunt numerotate de la 1 la n. Elementele matricei corespund zonelor pătrate de latură 1 metru. O astfel de zonă poate să conțină un copac sau este liberă. Edilii orașului doresc să paveze cu un număr minim de dale pătrate cu latura de 1 metru zonele libere (fără copaci) ale parcului, astfel încât să se obțină o alee continuă de la o poartă la alta. Scrieți un program care să determine numărul minim de dale necesare pentru construirea unei alei continue de la o poartă la cealaltă.

Costel trebuie să realizeze, împreună cu echipa sa, o aplicaţie software pentru gestiunea fişierelor de pe hard-disc, sarcina sa fiind aceea de a scrie un modul pentru determinarea căilor tuturor fişierelor de date aflate în structura arborescentă a folderelor de pe disc. Membrii echipei au stabilit o codificare proprie pentru memorarea structurii fişierelor de pe disc, utilizând un şir de caractere. Scrieţi un program care, cunoscând şirul de caractere ce codifică o structură de fişiere de pe disc, determină calea pentru fiecare fişier de date din structură. Prin cale a unui fişier se înţelege o succesiune de foldere, fiecare folder fiind urmat de caracterul \(backslash), începând de la folderul aflat pe cel mai înalt nivel al structurii (primul specificat în şirul ce codifică structura de fişiere), până la subfolderul în care se află fişierul de date respectiv şi terminată cu numele fişierului. Căile determinate vor fi afişate în ordine lexicografică.

În Roma antică există n așezări senatoriale distincte, câte una pentru fiecare dintre cei n senatori ai Republicii. Așezările senatoriale sunt numerotate de la 1 la n, între oricare două așezări existând legături directe sau indirecte. O legătură este directă dacă ea nu mai trece prin alte așezări senatoriale intermediare. Edilii au pavat unele dintre legăturile directe dintre două așezări (numind o astfel de legătură pavată stradă), astfel încât între oricare două așezări senatoriale să existe o singură succesiune de străzi prin care se poate ajunge de la o așezare senatorială la cealaltă.
Toţi senatorii trebuie să participe la şedinţele Senatului. In acest scop, ei se deplasează cu lectica. Orice senator care se deplasează pe o stradă plăteşte 1 ban pentru că a fost transportat cu lectica pe acea stradă.

La alegerea sa ca prim consul, Cezar a promis că va dota Roma cu o lectică gratuită care să circule pe un număr de k străzi ale Romei astfel încât orice senator care va circula pe străzile respective, să poată folosi lectica gratuită fără a plăti. Străzile pe care se deplasează lectica gratuită trebuie să fie legate între ele (zborul, metroul sau teleportarea nefiind posibile la acea vreme).

În plus, Cezar a promis să stabilească sediul sălii de şedinţe a Senatului într-una dintre aşezările senatoriale aflate pe traseul lecticii gratuite. Problema este de a alege cele k străzi şi amplasarea sediului sălii de şedinţe a Senatului astfel încât, prin folosirea transportului gratuit, senatorii, în drumul lor spre sala de şedinţe, să facă economii cât mai însemnate. În calculul costului total de transport, pentru toţi senatorii, Cezar a considerat că fiecare senator va călători exact o dată de la aşezarea sa până la sala de şedinţe a Senatului.

Scrieţi un program care determină costul minim care se poate obţine prin alegerea adecvată a celor k străzi pe care va circula lectica gratuită şi a locului de amplasare a sălii de ședință a Senatului.

Fie a și b două numere naturale nenule. Scrieți un program care determină numărul de numere naturale formate din exact a cifre care au fiecare produsul cifrelor egal cu b și afișează în fișierul de ieșire restul împărțirii valorii determinate la numărul 9973.