Lista de probleme 3

Yamada, cel mai bun jucător al jocului Forest of Savior, se pregătește pentru a participa într-o bătălie împreună cu coechipierii săi. Pentru a câștiga această luptă, Yamada trebuie să se folosească de diverse obiecte magice pe care le-a obținut de-a lungul timpului. Ajutați-l pe Yamada să determine:
1. Dintre toate obiectele avute la dispoziție, care este cea mai puternică carte de vrăji, care este cea mai puternică poțiune și care este cea mai puternică nestemată.
2. În ce ordine ar trebui să se folosească de obiectele magice astfel încât, la final, puterea personajului său să fie maximă.
3. Care este puterea maximă pe care o poate atinge personajul său. Fiindcă acest număr poate fi foarte mare, Yamada vrea doar să afle care ar fi restul împărțirii acestui număr la 1.000.000.007.

Stadionul pe care Taylor Swift concertează în cadrul Turului Eras poate fi reprezentat cu ajutorul unei matrice cu N linii și M coloane, numerotate începând de la 1. În fiecare celulă (i, j), de pe linia i și coloana j (1 ≤ i ≤ N și 1 ≤ j ≤ M), se află câte un scaun pe care pot fi așezate brățări ale prieteniei. Înainte de concert, pe fiecare dintre dintre cele N x M scaune, nu se află nicio brățară. Pe durata concertului, Steven efectuează, în ordine, U modificări, care pot fi de două tipuri:

• tipul (L, a, v) cu semnificația că pe fiecare dintre cele M scaune de pe linia a sunt așezate câte v brățări noi (1 ≤ a ≤ N);
• tipul (C, a, v) cu semnificația că pe fiecare dintre cele N scaune de pe coloana a sunt așezate câte v brățări noi (1 ≤ a ≤ M).

După ce toate modificările au fost efectuate, Caroline îi pune lui Steven, în ordine, Q întrebări. Pentru fiecare întrebare, se consideră un număr natural K și descrierile a K submatrice. Steven trebuie să determine câte brățări sunt, în total, pe scaunele ce se află în cel puțin una dintre cele K submatrice considerate. Ajutați-l pe Steven să răspundă corect la toate cele Q întrebări puse de Caroline!

O matrice pătratică A_{ij} de dimensiuni N x N cu N impar se numește matrice spirală dacă respectă următoarele proprietăți când este parcursă în spirală.

• Pentru oricare celulă (i, j) din matrice, fie A[i, j] = 0, fie A[i,j] nu conține cifra 0.
• Fie (i, j) oricare celulă mai puțin cea din centru și (k, l) celula parcursă anterior din matrice, și fie c oricare cifră nenulă, adică de la 1 la 9:
  a) Dacă c divide i + j, atunci A[i, j] conține cifra c dacă și numai dacă A[k, l] nu conține cifra c.
  b) Dacă c nu divide i + j, atunci A[i, j] conține cifra c dacă și numai dacă A[k, l] conține cifra c.
  c) Pentru numărul aflat în celula din centru, fiind prima parcursă, nu avem astfel de restricții.

• Un element din matrice va fi 0 dacă și numai dacă acesta nu are voie să conțină nicio cifră de la 1 la 9 conform regulilor de mai sus.

Dându-se o matrice pătratică A de dimensiune N, trebuie să determinați care este numărul minim de elemente din matrice care ar trebui înlocuite (în celulele respective pot fi scrise orice alte numere naturale) pentru ca A să devină o matrice spirală.