Lista de probleme 3

Dominic este un alchimist renumit pentru experimentele sale cu pietre preţioase. De-a lungul carierei sale a reușit să strângă o colecție de N nestemate pe care le-a numerotat de la 1 la N. Conform studiilor sale, aspectul fiecărei nestemate este caracterizat prin trei întregi X, Y și Z reprezentând culoarea, claritatea şi strălucirea acesteia.

Dominic a descoperit o metodă secretă prin care poate face o nestemată din colecția sa să capete aspectul unei alte nestemate din colecţie. Metoda are însă o slăbiciune, reuşind dacă şi numai dacă cel puţin una din valorile primei nestemate este egală cu cel puţin una dintre valorile celeilalte nestemate, dar este irelevant dacă proprietatea pe care o reprezintă cele două valori coincide. De exemplu, nestemata (1, 3, 4) poate fi transformată în nestemata (3, 2, 2) deoarece ambele au una din proprietăţi egală cu 3.

Se dau numărul de teste T şi pentru fiecare test N, A şi B şi proprietăţilor celor N nestemate din colecţia lui Dominic. Se cere să se afle numărul minim de transformări necesare (dacă este posibil).

Floricel vrea să facă cât mai mulți bani. Ca să aibă suficienţi bani să-şi poată cumpăra un apartament, are de rezolvat o problemă care se poate modela astfel: El are N intervale inițiale, date prin capetele lor. Floricel mai trebuie să creeze intervale noi, denumite intervale de acoperire. Prietenul său, Ted, îi spune că are nevoie de mai multe provocări în viață să fie mai fericit, și îi pune Q întrebări de forma: “Dacă ai voie să creezi cel mult K intervale de acoperire, care ar fi lungimea minimă a celui mai lung interval de acoperire astfel încât toate intervalele inițiale să fie acoperite? Și dacă poți, care este soluția minimă lexicografic? O soluție este minimă lexicografic dacă este minimă întâi după numărul intervalelor de acoperire, iar după aceea comparând intervalele după capetele de stânga și de dreapta, ordonând intervalele după capetele din stânga.”

Boris s-a hotărât să viziteze o clădire de birouri. Clădirea are un singur nivel în care birourile sunt lipite unele de altele formând un caroiaj pătratic de dimensiune N x N. Boris va intra în clădire prin biroul (1, 1) și va trece printr-o serie de birouri. Traseul se va termina în biroul (N, N). La trecerea dintr-un birou în altul se permite:

• pe același rând doar de la stânga la dreapta: (i, j) → (i, j+1);
• pe aceeași coloană doar de sus în jos: (i, j) → (i+1, j);
• în sens diagonal în următoarele două direcții: (i, j) → (i+1, j-1), dar și (i, j) → (i-1, j+1).

Cunoscând planul birourilor și valorile B(i, j) pentru 1 ≤ i, j ≤ N care îl așteaptă pe Boris în fiecare birou, ajutați-l să calculeze câștigul maxim pe care îl poate avea la ieșirea din clădire.