Lista de probleme 3

Kida și El Bandito Inofensivo au N display-uri digitale care pot afișa litere mici din alfabetul englez. Fiecare dintre cele N display-uri are câte M celule. Pentru fiecare display i, cunoaștem literele care pot fi afișate în fiecare celulă j a sa. El Bandito Inofensivo consideră că un cuvânt de lungime M este comun dacă acesta se poate forma pe cel puțin K dintre cele N display-uri. Auzind asta, Kida vă roagă să o ajutați să calculeze numărul de cuvinte comune distincte. Ajutați-o pe Kida să calculeze numărul de cuvinte comune distincte. De vreme ce acest număr poate să fie foarte mare, se cere restul său la împărțirea prin 1.000.000.009.

Ernest a găsit în garajul familiei sale un joc Pacman. Labirintul din joc poate fi reprezentat ca o matrice cu N linii și N coloane. Pe fiecare linie și fiecare coloană există exact un obstacol. Vom nota cu (L, C) poziția de pe linia L și coloana C. Matricea este circulară: dacă Pacman se deplasează la dreapta din poziția (L, N), ajunge în (L, 1), iar dacă se deplasează la stanga din poziția (L, 1), ajunge în (L, N), pentru orice linie L din matrice. Similar, dacă se deplasează în sus din (1, C), ajunge în (N, C), respectiv dacă se deplasează în jos din (N, C), ajunge în (1, C), pentru orice coloană C. Inițial Pacman se află în (1, 1) și vrea sa ajungă în (N, N) unde se găsește un punct galben care îl va ajuta să învingă fantomele colorate. Problema este formată din doua cerințe:

• Cerința 1. Se citește un șir de mișcări format din literele U, D, L, R, ce descriu în ordine mișcările lui Pacman. Deplasându-se conform acestui șir, va ajunge Pacman din (1, 1) la punctul galben de coordonate (N, N)?
• Cerința 2. Care este numărul minim de mișcări U, D, L, R prin care Pacman poate ajunge din (1, 1) la punctul galben de coordonate (N, N)?

Fie numerele întregi N, M și T. Calculați numărul de moduri de a construi o matrice cu N linii și M coloane folosind valori întregi aflate în intervalul închis [0, T], astfel încât fiecare linie și fiecare coloană a matricei să aibă elementele în progresie aritmetică cu rație strict pozitivă. Progresiile se consideră pentru secvența elementelor de pe linii ca fiind de la stânga la dreapta, iar pentru coloane ca fiind de sus în jos. De asemenea, fiecare linie și fiecare coloană poate avea o rație proprie, distinctă de celelalte, iar rațiile asociate liniilor și coloanelor trebuie să fie crescătoare de sus în jos, respectiv de la stânga la dreapta. Deoarece acest număr poate fi foarte mare, el se va afișa modulo 1.000.000.009.