Lista de probleme 23

Dându-se numărul N, determinați:

• Numărul divizorilor lui N;
• Numărul maxim de apariții ale unei valori calculate în timpul jocului prin formulele descrise;
• Numerele căsuțelor ocupate, în timpul jocului, de pionul câștigătorului în ordinea în care acestea sunt vizitate.

Fie S = (S1, S2, ..., SN) un şir format din N numere naturale mai mici decât 10 şi x un număr natural cu p cifre, reprezentat în baza 10 prin x = x1x2...xp. Observaţi că poziţiile din şirul S sunt numerotate de la stânga la dreapta de la 1 la N, iar cifrele numărului x sunt numerotate de la stânga la dreapta de la 1 la p (cifra p fiind cifra unităţilor). Scrieţi un program care, cunoscând şirul S, rezolvă următoarele două cerinţe:

• fiind date Nr perechi de forma x j, determină pentru fiecare pereche dacă numărul x apare ca subșir în prefixul de lungime j al lui S şi afişează valoarea 1 în caz afirmativ, respectiv valoarea 0 în caz contrar;
• fiind date Nr perechi de forma a b, determină şi afişează pentru fiecare pereche numărul de numere naturale din intervalul închis [a, b] care apar ca subșir în șirul S.

Se dau N triplete de numere naturale (ai, bi, ci), unde ai ≠ 0 și 1 ≤ i ≤ N, fiecare reprezentând câte un număr rațional qi egal cu: \( \frac{(-1)^{a_i}b_i}{c_i} \). Găsiți un subșir nevid al șirului q1, q2, …, qN al cărui produs al valorilor să fie maxim posibil.

Ultimul sezon rece a fost unul cu multa zăpadă căzută în zona montană, prin urmare magazinul de articole sportive din stațiunea de schi Semenic a avut vânzări mari, mai ales de clăpari (bocanci speciali pentru schiat). Acum fiind sfârșit de sezon, angajații magazinului constată că le-au rămas N cutii goale în care au fost ambalate perechile de clăpari vândute. Aceste cutii au forma unui paralelipiped dreptunghic la care fața superioară constituie capacul. Cunoscând N (numărul de cutii din magazin), ordinea în care cutiile sunt așezate în turn, iar pentru fiecare cutie latura capacului, înălțimea cutiei și dacă are capac sau, în cazul în care capacul lipsește, dacă cutia este așezată cu golul în sus sau cu golul în jos determinați:

• înălțimea turnului astfel format;
• numărul de cutii ale căror fețe laterale sunt vizibile dacă se privește turnul din lateral.

Pasionați de geografie, Alex și Răzvan joacă online Geoguessr. Harta lumii este alcătuită din N locații numerotate de la 1 la N, fiecare desemnând un punct în plan de coordonate (X[i], Y[i]). Alex a studiat atent toate cele N locații și a determinat o listă de L caracteristici de interes pentru locațiile date, numerotate de la 1 la L. De exemplu, caracteristica 1 ar putea fi “se află respectiva locație în Europa?”, iar caracteristica 2 ar putea fi “se vorbește limba spaniolă în locația respectivă?”, și așa mai departe.
Se dă un număr C ∈ {1, 2}. Pentru C = 1 să se afișeze răspunsul la prima întrebare a lui Alex pentru fiecare din cele Q runde. Pentru C = 2 să se afișeze răspunsul la a doua întrebare a lui Alex pentru fiecare din cele Q runde.

Dându-se cele N numere din șir să se determine:

• Câte numere din șirul inițial nu au nevoie de transformare (conțin doar cifre distincte)?
• Câte numere va conține șirul după realizarea tuturor operațiilor de unire?
• Care este numărul maxim de cifre ale unui număr din noul șir și câte numere au acest număr maxim de cifre?

Primarul orașului X dorește să aibă un iluminat public modern. Pentru aceasta, realizează o schiță sub forma unui pătrat cu n linii și n coloane în care fiecare element situat la intersecția unei linii cu o coloană reprezintă un cartier. Primarul a calculat pentru fiecare cartier care este numărul de stâlpi de iluminat public din acel cartier. Cunoscând numerele naturale nenule n și k, precum și numărul de stâlpi de iluminat din fiecare cartier, să se determine:

• Câți stâlpi de iluminat se află în cartierul cu număr maxim de stâlpi de iluminat la etapa cu numărul k din procedeul de stingere a becurilor?
• Câte becuri se sting, în total, la etapa cu numărul k?
• Care este numărul maxim de becuri aprinse într-o zonă pătratică a orașului de dimensiune k x k, înainte de a începe stingerea becurilor?

Gimi tocmai a câștigat o licitație pentru asfaltarea unei noi autostrăzi. Firma lui este responsabilă de prelucrarea zonelor dintr-o suprafață bidimensională de dimensiuni N × N. Știm că dacă un drum va trece prin a i-a linie, respectiv a j-a coloană, atunci acea zonă de la poziția (i, j) va trebui asfaltată. Liniile și coloanele suprafeței bidimensionale sunt numerotate de la 1 la N. Având aceste informații, Gimi vrea să verifice dacă traseul dronei este valid, adică drona nu va părăsi niciodată suprafața de care este responsabilă firma lui Gimi. În cazul în care traseul este invalid Gimi vrea să știe a câta instrucțiune dintre cele K a determinat mutarea dronei în afara suprafeței. Dacă traseul este valid, el vrea să determine costul total de asfaltare al autostrăzii.

Dându-se numerele X și K determinaţi:
1) Produsul dintre ultima cifră a numărului X * X * X * … * X (de K ori) şi prima cifră a lui X.
2) Numărul rezultat după aplicarea celor K transformări.

Pe planeta Quadratia, locuitorii folosesc forme pătrate în tot ceea ce construiesc. Ei au trimis pe solul planetei $N$ mașini speciale de apărare, numite rovere, care se deplasează pe traiectorii ce descriu pătrate. Harta planetei poate fi privită ca un tablou bidimensional cu număr infinit de linii și coloane, numerotarea acestora începând cu 1. Scrieţi un program care să rezolve următoarele cerințe:

• Determină numărul roverelor a căror traiectorie se intersectează cu diagonala principală a tabloului ce descrie harta.
• Determină numărul maxim de rovere, care pot fi distruse simultan, într-o singură secundă, înainte de trecerea celor S secunde, precum și secunda minimă în care se poate realiza acest lucru.