Lista de probleme 3

Se consideră un șir de N numere naturale. Numim rectangle-sequence orice secvență continuă din șir (formată din elemente situate pe poziții consecutive) care conține cel puțin două elemente. Fiecare rectangle-sequence este caracterizată de un dreptunghi cu lungimile laturilor egale cu cele mai mari două elemente din cadrul ei. Să se calculeze restul împărțirii sumei ariilor dreptunghiurilor ce caracterizează toate rectangle-sequences din șir la numărul 1.000.000.007.

Pe axa numerelor reale, considerăm o autostradă cu un număr nelimitat de benzi. În dreptul bornei corespunzătoare kilometrului 0 (originea axei numerelor reale) se află un radar. Acest radar depistează N mașini care circulă cu viteze constante. Pentru fiecare mașină i se cunosc ti, momentul de timp la care este detectată de radar, exprimat în ore, și vi, viteza acesteia, exprimată în km/h. Să se răspundă la Q interogări de forma: dându-se t, care este la momentul t cea mai apropiată mașină de radar dintre cele detectate până atunci (inclusiv cele detectate fix la momentul t)? Dacă există mai multe mașini dintre cele detectate până la momentul t pentru care distanța față de radar este minimă, puteți afișa oricare dintre ele.

În Hogwarts există o tablă de șah cu N linii și M coloane. Harry Potter a găsit plasate, de către Hagrid, T ture care apără fiecare linia și coloana pe care este așezată. El trebuie să plaseze în siguranță K pioni pe tablă, adică fără ca vreunul dintre ei să fie atacat de vreo tură. Tabla de șah din Hogwarts este specială deoarece în cadrul unei celule pot fi plasați chiar și mai mulți pioni simultan! Cunoscând toate aceste reguli, ajutați-l pe Harry Potter să determine în câte modalități poate plasa în siguranță toți cei K pioni pe tabla de șah.