Lista de probleme 3

Pe o masă, sunt așezate unul lângă altul, N cuburi numerotate în ordine cu valori de la 1 la N, care au dimensiunea laturii exprimată în centimetri, printr-un număr natural nenul. Un robot inteligent este programat să construiască turnuri prin aşezarea cuburilor unul peste altul. Ştiind că un turn poate fi format din cel puţin un cub, scrieţi un program care să determine:
1. cel mai mare număr de cuburi alăturate care au laturile exprimate printr-un număr par de centimetri;
2. înălţimea (exprimată în centimetri) celui mai înalt turn construit de robot.

Profesorul începe ora scriind pe tablă următorul şir de numere: 1 1 1 2 1 1 2 3 1 3 1 2 3 4 1 3 1 2 3 4 5 1 3 5 1 2 3 4 5 6 1 3 5 … Copiii îl întrerup şi anunţă că au găsit regula după care sunt construiţi succesiv termenii şirului, şi anume: se scrie 1 urmat de 1, apoi 1 2 urmate tot de 1, apoi 1 2 3 urmate de 1 şi 3, apoi 1 2 3 4 urmate tot de 1 şi 3 … tot aşa, la un moment dat după secvenţa 1, 2, …, k se scriu numerele impare de la 1 la k. Evident că acesta este un şir infinit. Dându-se o poziţie din şir se cere determinarea valorii care se află pe acea poziţie. Dându-se o valoare, să se determine cea mai mică poziţie din şir pe care aceasta se află.

Ioana și Maria tocmai au învățat la matematică despre multiplii unui număr natural. Pentru a exersa lucrul cu noua noțiune, își propun să joace următorul joc: fiecare își alege câte un număr natural nenul și pentru câte un interval închis dat (la intervalele închise capetele fac parte din interval), calculează câți multipli are numărul ales în acel interval. Câștigă cea care a ales numărul care are mai mulți multipli în intervalul primit, sau este egalitate în cazul în care numărul multiplilor este acelaşi. Cunoscând numerele alese de cele două fete precum și numerele care determină intervalele date, să se determine cine câștigă jocul și care este numărul care conduce la câștigarea jocului.