Lista de probleme 12

Se consideră o matrice binară B (cu valori 0 sau 1) cu N linii şi M coloane, liniile şi coloanele fiind numerotate de la 1 la N, respectiv de la 1 la M. Matricea B este generată după regula B[i][j] = R[i] xor C[j], unde R şi C sunt vectori binari de lungime N, respectiv M. Determinaţi numărul maxim de elemente egale cu 0 într-un dreptunghi a cărui arie este exact A, precum şi numărul de dreptunghiuri pentru care se obţine acest număr maxim.

Primăria orașului ONI a făcut un contract cu firma Gigel.SRL în vederea amenajării gardului Grădinii Botanice. Șeful firmei a constatat că gardul cu pricina este format doar din trei tipuri de scânduri care sunt aranjate fără nicio regulă. Fiind un tip cu “gust estetic” și-a propus să rearanjeze scândurile astfel încât gardul să conțină scândurile grupate astfel: primele să fie scândurile de primă dimensiune (cea mai mică) apoi cele mijlocii, iar ultimele să fie cele de dimensiunea cea mai mare. Echipa care a fost desemnată să execute lucrarea are un singur muncitor care dorește să știe care este numărul minim de schimbări pe care ar trebui să le facă astfel încât să rezolve problema și scândurile să fie ordonate așa precum a decis șeful firmei. Operația de schimbare constă în alegerea a două scânduri diferite și așezarea uneia în locul celeilalte.
Dându-se un număr n ce reprezintă numărul de scânduri care alcătuiesc gardul, precum şi modul în care sunt aranjate scândurile în gard, să se determine care este numărul minim de schimbări ce trebuie realizat astfel încât gardul să aibă scândurile aranjate crescător. Scândurile sunt codificate în funcție de dimensiune prin valorile 1, 2 și 3.

În Țara lui Papură Vodă s-au organizat de curând primele alegeri democratice. A rezultat astfel un parlament din care fac parte deputați cu diverse doctrine politice, de stânga sau de dreapta. Acestea sunt descrise prin numere naturale nenule (orientarea politică este cu atât mai de stânga cu cât numărul este mai mic). Parlamentarii s-au asociat în partide politice în funcție de doctrina fiecăruia. Oricare doi deputați ale căror doctrine corespund unor numere consecutive fac parte din același partid. Prin urmare, partidele vor fi alcătuite din deputați ale căror doctrine sunt numere consecutive. (De exemplu, dacă parlamentul are 5 deputați, cu doctrinele 1, 2, 3, 5 şi 6, atunci înseamnă că aceștia sunt grupați în două partide: unul format din 1, 2 și 3 și altul din 5 și 6.)
Un guvern trebuie să beneficieze de susținerea a mai mult de jumătate dintre parlamentari. De exemplu, dacă parlamentul este format din 7 deputați, atunci un guvern are nevoie de susținerea a cel puțin 4 deputați.
Pentru a putea guverna, partidele se pot grupa in coaliţii. Regula după care se asociază este urmatoarea: două partide A şi B, A având o doctrină mai de stânga, pot face parte din aceeași coaliţie doar dacă din coaliţia respectivă fac parte toate partidele a căror doctrină este mai de dreapta decât cea a lui A şi mai de stânga decât cea a lui B. De exemplu, dacă parlamentul este alcătuit din deputaţi cu orientările politice 1, 2, 4, 5, 7 şi 8, atunci partidul format din 1 şi 2 nu se poate asocia cu partidul format din 7 şi 8 decât dacă din coaliţia respectivă face parte şi partidul format din 4 şi 5.
Fiind dat parlamentul din Ţara lui Papură Vodă printr-un şir ordonat strict crescător de numere naturale nenule, se cere să se stabilească numărul de partide parlamentare şi numărul variantelor de coaliţie majoritară.

Ionel şi Georgel colecţionează jetoane care se găsesc în revistele Scooby-Doo. Jetoanele au înscrise pe ele diferite valori, numere naturale distincte, un copil neputând avea două sau mai multe jetoane cu aceeaşi valoare. Ei propun următorul joc: având în faţă jetoanele proprii, determină împreună care este jetonul de valoare comună cu cea mai mică valoare înscrisă şi jetonul de valoare comună cu cea mai mare valoare înscrisă. După ce au identificat aceste jetoane, câştigătorul este acela care va avea cele mai multe jetoane după eliminarea acelora cu valori cuprinse între minimul şi maximul comun, inclusiv minimul şi maximul.

Zăhărel a desenat pe o foaie de hârtie N puncte în plan. Curios din fire, şi-a ales încă M puncte pe axa OX şi s-a întrebat pentru fiecare dintre cele M puncte de pe axa Ox care dintre cele N puncte este cel mai apropiat (situat la distanță minimă). Se consideră că distanța dintre două puncte (x1, y1) şi (x2, y2) este (x1-x2)2 + (y1-y2)2. Scrieți un program pentru Zăhărel care să determine pentru fiecare dintre cele M puncte de pe axa OX, care este distanța la cel mai apropiat punct dintre cele N desenate pe hârtie.

Înspăimântătorii tăi luptători au răpit-o pe Prinţesa Ghiocela şi au închis-o în castelul tău de pe vârful Muntelui Pleşuv. Deoarece eşti un geniu malefic, te-ai hotărât să îi oferi prinţesei iluzia unei şanse de evadare.
Castelul tău are forma unui caroiaj cu M linii şi N coloane. Cele M x N celule ale castelului sunt numerotate de la 1 la M x N în ordinea parcurgerii caroiajului pe linii de sus în jos, iar pe aceeaşi linie în ordinea coloanelor de la stânga la dreapta. În fiecare dintre celulele castelului ai pus câte o cheie, mai precis celula i conţine cheia cu numărul i. Evident, pentru a intra într-o cameră, prinţesa are nevoie de o anume cheie care permite deschiderea acesteia. Mai mult, dintr-o cameră prinţesa se poate deplasa într-un moment numai într-una dintre cele maximum patru camere adiacente pe orizontală şi verticală, doar dacă deţine cheia necesară deschiderii sale. Odată ce a intrat într-o cameră şi a obţinut o cheie, prinţesa o păstrează şi poate să o utilizeze ori de câte ori doreşte. Deşi eşti convins că prinţesa nu va scăpa din castel, eşti curios să afli câte dintre cele M x N camere îi sunt accesibile. Date fiind dimensiunile castelului, camera în care se află iniţial prinţesa şi cheile necesare deschiderii fiecăreia dintre camere, află răspunsul la această întrebare presantă.

Johnie a început să se joace cu un vector de numere. El dispune iniţial de un vector V cu N numere întregi (numerotate de la 0 la N - 1) şi poate efectua următoarele operaţii:

• schimbarea elementului de pe poziţia p cu un alt număr întreg;
• aflarea subsecvenţei de sumă maximă din V inclusă între indicii a şi b;

Considerăm trei numere naturale nenule: n, k şi x. Denumim o kx-descompunere a numărului n o posibilitate de a scrie numărul n ca sumă de k numere naturale nenule astfel încât diferenţa între oricare doi termeni ai sumei este cel puţin egală cu x. Fiind date trei numere naturale n, k şi x, să se determine câte kx-descompuneri distincte există. Două kx-descompuneri sunt distincte dacă diferă prin cel puţin un termen.

Se consideră numerele naturale N şi K şi cifrele nenule distincte c[1], c[2], …, c[N]. Să se determine câte numere de K cifre formate doar cu cifrele c[1], c[2], …, c[N] sunt divizibile cu 3. Pentru că acest număr poate fi foarte mare, rezultatul se va determina modulo 4001.

O firmă producătoare de software organizează un interviu pentru ocuparea unui post de programator, la care s-au prezentat N candidaţi. Aceştia sunt ordonaţi în funcţie de momentul la care şi-au trimis CV-ul şi numerotaţi cu numere consecutive de la 1 la N. Fiecărui candidat i-a fost realizat în prealabil un profil psihologic şi i s-a determinat nivelul de agitaţie provocat de interviul care urmează să aibă loc, precum şi un sens (crescător sau descrescător) de modificare a acestui nivel. Astfel, la ora la care s-a anunţat începerea interviului (pe care o vom considera momentul 0), fiecare candidat are un nivel de agitaţie iniţial. Pentru fiecare unitate de timp după momentul 0 şi până în momentul în care candidatul este invitat pentru interviu (până atunci el trebuind să aştepte), nivelul său de agitaţie se modifică cu 1: pentru o parte din candidaţi nivelul creşte cu 1 unitate, iar pentru ceilalţi nivelul scade cu 1 unitate. Dacă nivelul de agitaţie a unui candidat ajunge la 0, din acel moment, pentru fiecare unitate de timp următoare, nivelul de agitaţie va creşte cu 1 (se schimbă sensul de modificare a nivelului de agitaţie).

Să se scrie un program care să determine suma totală minimă a nivelelor de agitaţie a candidaţilor la sfârşitul interviului dacă aceștia sunt împărțiți optimal în grupuri.