Lista de probleme 2

Mihai a primit de ziua lui un joc de puzzle. Jocul are N piese confecţionate prin lipirea unor bucăţi de dimensiune 1x1 (ilustrate în figurile de mai jos prin X); aceste bucăţi le vom numi în continuare, pe scurt, X-uri. Pentru confecţionarea unei piese se respectă următoarele reguli:
1. X-urile sunt aşezate unul peste altul, formând coloane ce pot avea înălţimi diferite, apoi coloanele se aliniază în partea de jos şi se lipesc între ele, una după cealaltă, de la stânga spre dreapta;
2. pe o coloană sunt cel mult nouă X-uri;
3. toate piesele au acelaşi număr de coloane.
Determinați care este numărul de moduri în care Mihai poate alege câte două piese dintre cele N pentru a face o operaţie în modul descris mai sus.

Roboțelul Nino a primit cadou un dispozitiv care inscripționează bile. Dispozitivul poate fi încărcat cu n bile, ce vor fi inscripționate în ordine, cu numerele 1, 2, …, n.
Nino trebuie să împartă bilele inscripționate în două șiruri, X și Y, astfel:
- La primul pas Nino va pune în primul șir bila cu numărul 1 (X[1] = 1), iar în al doilea șir bila cu numărul 2 (Y[1] = 2).
- La al doilea pas Nino va pune în primul șir bila cu numărul 3 (X[2] = 3), iar în al doilea șir bila cu numărul 4 (Y[2] = 4).
- La fiecare pas i ≥ 3 Nino va pune în șirul X bila X[i] = X[i-1] + Y[i-1], iar în șirul Y, în ordine crescătoare, bilele numerotate cu X[i-1+1], X[i-1+2], …, X[i-1], cu excepția bilei 4 care a fost pusă deja.
Dacă la un pas k, X[k] > n, bilele rămase vor fi inscripționate cu valorile X[k-1+1], X[k-1+2], …, n și vor fi puse în șirul Y.
Pentru că bilele se rostogolesc, Nino împachetează în tuburi verticale de culoare galbenă, bilele din primul șir, iar în tuburi verticale de culoare roșie, bilele din al doilea șir. În fiecare tub încap cel mult m bile, dispuse pe o singură coloană. Tuburile sunt așezate vertical, întâi cele galbene, în ordinea umplerii, apoi cele roșii în ordinea umplerii lor. Bilele de la baza fiecărui tub formează nivelul 1, cele situate imediat deasupra lor formează nivelul 2 etc., nivelul maxim putând fi m.

Se dau numerele naturale n și m și se cere să se determine:
1. Numărul de tuburi de culoare roșie necesare pentru a împacheta bilele din șirul Y și numărul total de bile conținute de acestea.
2. Pentru un nivel v dat, suma numerelor inscripționate pe bilele de pe nivelul v.