Lista de probleme 12

Marius este pasionat de pătrate perfecte. Se numeşte pătrat perfect un număr de forma x 2 (unde x este număr natural).

Într-o matrice T cu n linii şi m coloane, Marius a scris numere naturale nenule. Apoi construieşte o altă matrice NR, tot cu n linii şi m coloane. Elementul NR[i][j] = numărul de perechi de pătrate perfecte a căror diferenţă este egală cu T[i][j] (1≤i≤n, 1≤j≤m).

Cunoscându-se numerele n, m şi matricea T, să se afişeze matricea NR.

Adrian participă la o expediţie, împreună cu colegii lui. La un moment dat, copiii descoperă, lângă un copac, 5 tăbliţe vechi. Primele 4 tăbliţe sunt inscripţionate complet. Prima tăbliţă conţinea textul : “Grupa 1 conţine numărul 1”, a doua tăbliţă avea textul : „Grupa 2 conţine numerele 2 şi 3”, a treia tăbliţă avea textul: „Grupa 3 contine numerele 4,5 şi 6” , a patra tăbliţă avea textul: „Grupa 4 conţine numerele 7,8,9 şi 10.” Pe următoarea tăbliţă găsită era înscris un singur număr, celelalte numere şi numărul grupei erau şterse. Adrian le solicită colegilor lui să descopere ce grupă era scrisă pe a cincea tabliţă găsită.

Descoperiţi regula de inscripţionare a tăbliţelor şi pentru numărul găsit pe a cincea tăbliţă, determinaţi din ce grupă face parte.

Nicoleta este pasionată de cifre. Fiind într-o bibliotecă, s-a întrebat dacă luând n cărţi din bibliotecă, cu cifrele cu care sunt numerotate paginile celor n cărţi, poate forma un număr care citit de la stânga la dreapta este identic cu cel citit de la dreapta la stânga (un palindrom).

Cunoscându-se numrul n de cărţi şi numărul p de pagini ale fiecărei cărţi să se determine dacă cu cifrele cu care sunt numerotate paginile cărţilor se poate forma un palindrom.

Petrică, tânăr licean în clasa a IX-a, a primit în dar de la părinţii săi un cont bancar pentru micile sale cheltuieli curente. El este pasionat de Internet Banking şi îşi verifică cu grijă toate tranzacţiile efectuate. Pentru creşterea securităţii tranzacţiilor online, banca îi furnizează lui Petrică un număr pe care el va trebui să îl modifice, obţinând un număr TAN – număr de autentificare a tranzacţiei (transaction authentication number). Regula de obţinere a numărului TAN este următoarea: se formează cel mai mic număr par din toate cifrele numărului furnizat de bancă.

Cunoscând numărul n furnizat de bancă, să se determine numărul TAN obţinut de Petrică.

În portul Constanţa sunt ancorate două vapoare pline cu marfă. Ele fac curse repetate către două destinaţii diferite. Se ştie că primul vapor ajunge la destinaţia stabilită după un număr X de săptămâni, iar al doilea vapor după un număr Y de săptămâni. Drumul înapoi ia acelaşi timp. Armatorul celor 2 vapoare vrea să ştie după câte zile cele 2 vapoare pleacă din nou concomitent din port. Se mai ştie faptul că pentru manevrarea mărfurilor primului vapor îi sunt necesare z1 zile, iar celui de al doilea z2 zile.

Scrieţi un program care determină numărul de zile după care cele 2 vapoare pleacă din nou concomitent din portul din care au plecat.

Cristina şi Alina sunt eleve în clasa a V-a şi sunt foarte bune prietene. Le place ca în pauze să se provoace reciproc cu câte o problemă. De data aceasta, e rândul Cristinei să propună o problemă Alinei. Ea îi cere ca dintr-un set de mai multe numere naturale să le găsească pe cele centrale. Bineînţeles că mai întâi îi explică prietenei sale ce este un număr central: un număr care are proprietatea ca, după eliminarea primei şi a ultimei cifre, se obţine un nou număr care conţine numai cifre egale între ele. De exemplu, numărul 67771 este număr central pentru că, eliminând prima şi ultima cifră, se obţine numărul 777 care are toate cifrele egale între ele. Alina, care între timp a învăţat să programeze, intră imediat în jocul Cristinei, ştiind că va afla imediat rezultatul corect la problema propusă de prietena ei.

Având la dispoziţie un set de numere pe care le primeşte pentru verificare, Alina trebuie să spună câte dintre acestea sunt numere centrale.

Ilinca şi verişoara ei Daria, merg la un curs de gătit. Ilinca a făcut o prăjitură cu N straturi, iar Daria a făcut o prăjitură cu M straturi, straturile prăjiturilor fiind aşezate unul după altul pe orizontală şi având diverse culori. E posibil ca unele straturi din prăjitură să aibă aceeaşi culoare.

Ilinca a observat că dacă ar tăia prăjitura ei la capete ar putea obţine o prăjitură la fel ca prăjitura Dariei. Ilinca spune că astfel „extrage” din prăjitura ei prăjitura Dariei. La o extragere, Ilinca taie întotdeauna un număr minim de straturi din partea stângă (straturi pe care le mănâncă imediat) şi câte straturi sunt necesare în partea dreaptă pentru a obţine o prăjitură identică cu prăjitura Dariei. Prăjitura extrasă o aşază pe o farfurie şi continuă „extragerile” din bucata rămasă în partea dreaptă.

Scrieţi un program care să citească numerele naturale N şi M (reprezentând numărul de straturi din prăjitura Ilincăi respectiv Dariei) şi a1,a2,...,aN şi b1,b2,...,bM (reprezentând culorile straturilor din prăjitura Ilincăi respectiv din prăjitura Dariei) şi care să determine:

a) numărul de straturi pe care le taie Ilinca din capătul din stânga şi numărul de straturi pe care le taie din capătul din dreapta la prima extragere;
b) numărul de prăjituri identice cu prăjitura Dariei care se vor afla pe farfurie, după efectuarea tuturor extragerilor;
c) numărul maxim de prăjituri la fel ca prăjitura Dariei care pot fi obţinute din prăjitura Ilincăi dacă aceasta ar rearanja straturile prăjiturii ei într-o ordine convenabilă.

La concursul de patinaj artistic din acest an s-au înscris n concurenţi. După înscriere, participanţilor li se asociază coduri numerice distincte aparţinând mulţimii primelor n numere prime.

Pentru a stabili ordinea intrării în concurs, concurenţii sunt aşezaţi în cerc, după care se procedează astfel:

• primul participant în concurs este cel situat pe poziţia 1
• pentru alegerea celorlalţi, se parcurge circular lista de concurenţi, alegând din k în k, câte un unul, până la repartizarea tuturor.

Regulamentul prevede ca participanţii să intre în concurs în ordinea crescătoare a codurilor lor.

Cunoscând numărul n de concurenţi precum şi numărul k folosit la repartizarea concurenţilor în concurs, se cere să se determine şirul codurilor asociate concurenţilor, astfel încât intrarea lor în concurs să se facă conform regulamentului.

Să considerăm N variabile, denumite cu litere mici ale alfabetului englez, începând cu litera a. Să considerăm de asemenea M relaţii de ordine între aceste N variabile, sub forma: var1>var2 sau var1<var2, unde var1 şi var2 sunt două nume de variabile (deci litere mici distincte dintre primele N litere ale alfabetului englez).

Scrieţi un program care să ordoneze crescător cele N variabile pe baza celor M relaţii cunoscute.

Pentru a exprima starea de spirit în comunicarea online sunt utilizate emoticonurile (cunoscute şi sub denumirea de smileys). În mod text, un smiley este reprezentat ca o secvenţă de caractere.

Dat fiind un text, să se determine numărul de smileys care apar în text.