Lista de probleme 3

Fie secvența S(x) care se construiește astfel:

• S(1) = x
• S(n + 1) = S(n) XOR [S(n) / 2], unde [x] se definește ca parte întreagă din x, iar XOR este operația clasică „sau exclusiv”.

Dându-se un număr natural k, aflați numărul de numere naturale x pentru care S(k + 1) = S(1) = x este adevărat. Deoarece numărul poate fi foarte mare, afișați rezultatul modulo 1000000007.

Tanărul Pagnad proaspăt ajuns la facultate, vrea să prindă și el ceva. Fiind nemulțumit de celebra aplicație Tinder acesta dorește să-și creeze propria lui aplicație. Aplicația se folosește de datele strânse de pe diferite rețele de socializare ale utilizatorului și le codează într-o matrice. Stați calmi, nu trebuie sa creați voi matricea, dar pentru a-și studia compatibilitatea cu o persoana Pagnad se folosește de următoarele noțiuni.

Acesta definește o structură de dimensiune k o submatrice pătratică de latura k. Compatibilitatea se stabilește în funcție de câte perechi de două structuri, nu neapărat de aceleași dimensiuni, dar de sumă egală se găsesc în două matrici (prima structură trebuie să aparțină primei matrici, a doua celei de-a doua matrici).

Definim o structură prin coordonatele colțului stânga sus (x,y) și dimensiunea laturii acesteia k. Două perechi x1, y1, k1 și x2, y2, k2 sunt diferite daca: x1≠x2 sau k1≠k2 sau daca x1=x2 si k1=k2 si y1≠y2 sau x1=x2, y1=y2 si k1≠k2 (acestea fac referință pentru submatrice din aceeași matrice).

Se cere să se afle compatibilitatea între cele două matrice.

IceManLucky joacă League of Legends când dintr-o dată calculatorul i se blochează şi pe ecran îi apare bine cunoscutul blue screen. Pe ecran el vede acum 2N numere reale : a₁ , a₂ , …, a_2n. Având un calculator mai special, IceManLucky ştie că există o singură soluţie ca să remedieze problema. El efectuează N operaţii consecutiv, o operaţie constând în :

- alege 2 indecşi i şi j (i ≠ j), pe care nu i-a mai ales anterior
- rotunjeşte ai la cel mai apropriat număr întreg care nu este mai mare ca ai
- rotunjeşte aj la cel mai apropriat număr întreg care nu este mai mic ca aj

Scopul lui IceManLucky este ca diferenţa absolută dintre suma numerelor apărute iniţial pe ecran şi suma numerelor după efectuarea celor N operaţii descrise mai sus să fie minimă.