Lista de probleme 6

Părinții lui Rox au cumpărat de curând un teren care are N metri lățime și M metri lungime, pe care l-au împărţit în pătrate cu latura de un metru, denumite celule. Văzând planul terenului, lui Rox i-a venit o idee. Ea s-a decis să semene florile ei preferate în etape, pe U dintre parcele de teren. Denumirile florilor sunt litere mari ale alfabetului
englez. O parcelă este un dreptunghi inclus în teren, cu laturile paralele cu ale terenului și care conține doar celule complete.

În fiecare etapă în care Rox seamănă flori, procedează astfel: alege o parcelă pentru care reține indicii celulelor din stânga sus și dreapta jos, stabilește tipul florii pe care dorește să o semene peste tot în parcelă, apoi scrie aceste informații pe o foaie de hârtie. Documentându-se pe Internet, Rox ajunge la concluzia că apare următorul fenomen ciudat: dacă într-o celulă se seamănă același tip de floare într-un număr par de etape, semințele de acel tip pur și simplu dispar.

Când finalizează semănatul, Rox le povesteşte părinților despre isprava ei. Entuziasmați, părinții fetei îi pun mai multe întrebări de tipul ”Câte tipuri de flori au rămas semănate în celula de pe linia L și coloana C?”

Deoarece Rox a plantat foarte multe flori, ea nu poate să răspundă rapid întrebărilor părinților, așa încât vă cere ajutorul și vă va răsplăti efortul cu maxim 100 de puncte.

Algorel tocmai a avut un interviu la AlgoTech. Fiind isteţ din fire, el a reuşit să rezolve toate problemele, mai puţin una de care nu reuşeşte nicicum să se prindă cum se face. Aflând că la Iaşi are loc Concursul Urmaşii lui Moisil, s-a gândit să propună această problemă şi să ofere 100 de puncte ca recompensă celor care o rezolvă corect.

Fie un şir cu N cifre asupra căruia se poate efectua operaţia swap de maxim X ori. Prin swap se înţelege interschimbarea a două elemente din şir aflate pe poziţii vecine.

Să se determine numărul maxim care se poate obţine din şirul cu N cifre, după efectuarea a maxim X operaţii swap.

În seara dinaintea probei de concurs, Cobby a avut un vis demn de un Oscar, cu mai multe evenimente. Se făcea că lumea era reprezentată ca o matrice pătratică de latură N, cu liniile și coloanele numerotate de la 1 la N, în care fiecare element era inițial vid. Privind în jur, a realizat că atunci când visează un element al matricei, situat la intersecția liniei i cu coloana j, interiorul acestuia se împarte în N linii și N coloane, ca o nouă matrice. Apoi, dacă visează la un element din matricea nou formată sau
din cea inițială, se întâmplă la fel.

Pentru a nu se rătăci, eroul nopții a decis să atribuie un indice fiecărei matrice formată începând cu cea inițială căreia i-a asociat indicele 1. Matricele care se creează primesc indici numere naturale consecutive (2, 3, …), în ordinea în care se obţin. Astfel, fiecare element din visul lui Cobby este definit de 3 numere: id – indicele atribuit matricei din care face parte, i şi j – indicii liniei şi coloanei pe care se află elementul.

Cobby realizează că, oricât ar încerca, nu poate visa un element decât o singură dată. Pentru a face visul şi mai interesant, el reţine pentru fiecare matrice un număr natural denumit “coeficient de importanţă”, iniţial 0 pentru fiecare matrice din vis. Din când în când, eroul nostru alege una dintre matrice şi adaugă o valoare VAL la coeficientul de importanță al ultimelor NR matrice din care s-a obținut aceasta, inclusiv ea.

După ce au loc toate evenimentele din vis, Cobby vrea să ştie valoarea finală a coeficientului de importanţă pentru un șir de K matrice date prin indicii lor. Deoarece el se grăbeşte să participe la Concursul Naţional Urmaşii lui Moisil, îţi revine ţie misiunea de a găsi răspunsul pentru fiecare matrice.

Fie A o mulțime de N puncte Ai în plan de coordonate întregi cunoscute (Ai.x, Ai.y). Pentru o întrebare definită printr-un punct Q=(Q.x, Q.y) se cere aria înfășurătorii convexe a punctelor: {Q} ∪ {Ai | Ai.x < Q.x și Ai ∈ A }.

Înfășurătoarea convexă a unei mulțimi de puncte este poligonul convex de arie minimă care conține toate punctele în interior sau pe laturile acestuia.

Determinați răspunsurile pentru M întrebări de tipul enunţat mai sus, relativ la mulțimea inițială A.

Bulbuka este o elevă foarte conștiincioasă. În orele de matematică, ea desenează puncte în unele pătrăţele de pe o foaie a caietului, după care le înconjoară cu un dreptunghi de mărime N*M (N≤M) trasat pe liniile imprimate pe foaie. Într-o zi, ea a observat că unele dreptunghiuri pe care le-a trasat au o proprietate specială: toate pătratele de mărime N*N incluse în dreptunghi au același număr de puncte (să-l numim P) desenate în interior.

După oră, profesorul a chemat-o să o întrebe ce desena așa interesant în timpul orei. Bulbuka i-a explicat entuziasmată descoperirea, iar profesorul i-a propus o temă specială: pentru trei valori date N, M și P, să determine câte modalități de a desena punctele există.
Bulbuka a acceptat imediat dar, pentru că nu știe să scrie numere foarte mari, s-a hotărât să prezinte răspunsul modulo 1000000007 (109+7).

Ajunsă acasă, a descoperit că problema e mai grea decât credea inițial și i-ar trebui multe caiete să scrie toate rezolvările posibile. De aceea, vă cere ajutorul.

Date fiind N, M și P, să se afișeze rezultatul cerut modulo 1000000007 (109+7).

Grigorel tocmai a descoperit un joc nou de care este atât de încântat încât s-a gândit să-l propună la concursul Urmaşii lui Moisil de la Iaşi. Cum probabil v-aţi aşteptat deja, el oferă 100 de puncte ca recompensă celor care rezolvă corect jocul.

Fie N nave planare aflate la diferite coordonate întregi (x,y). În fiecare secundă, poate fi efectuată o operaţie de tipul: se selectează o navă i aflată la poziţia (xi,yi) şi se mută în una dintre cele 4 poziţii vecine: (xi+1,yi), (xi-1,yi), (xi,yi+1), (xi,yi-1).

Grigorel vrea să afle numărul minim de secunde după care vor fi cel puţin K linii cu măcar o navă şi cel puţin K coloane cu măcar o navă.

Cunoscând coordonatele celor N nave planare, aflaţi numărul minim de secunde cerut de Grigorel.