Lista de probleme 4

Ionuţ pleacă la sfârşit de săptămână să se relaxeze într-un parc de distracţii. La intrarea în parc se află o piaţă mare, pavată cu plăci de marmură de aceeaşi dimensiune. Fiecare placă are scris pe ea un singur număr dintre f(1), f(2), f(3), …, f(n), unde f(k) este suma cifrelor lui k, pentru k din mulţimea {1, 2, . . ., n}. Piaţa are forma unui tablou bidimensional cu n linii şi n coloane. Plăcile care alcătuiesc piaţa sunt aşezate astfel:

• pe prima linie sunt plăci cu numerele f(1), f(2), …, f(n-2), f(n-1), f(n) (în această ordine de la stânga la dreapta);
• pe linia a doua sunt plăci cu numerele f(n), f(1), f(2), f(3), …, f(n-1), (în această ordine de la stânga la dreapta);
• pe linia a treia sunt plăci cu numerele f(n-1), f(n), f(1), f(2), f(3), …, f(n-2) (în această ordine de la stânga la dreapta);

…

• pe ultima linie sunt plăci cu numerele f(2), …, f(n-2), f(n-1), f(n), f(1) (în această ordine de la stânga la dreapta).

Părinţii lui Ionuţ vor ca şi în această zi, fiul lor să rezolve măcar o problemă cu sume. Astfel aceştia îi propun lui Ionuţ să determine suma numerelor aflate pe porţiunea dreptunghiulară din piaţă având colţurile în poziţiile în care se găsesc aşezaţi ei. Tatăl se află pe linia iT şi coloana jT (colţul stânga-sus), iar mama pe linia iM şi coloana jM (colţul dreapta-jos). Porţiunea din piaţă pentru care se doreşte suma este în formă dreptunghiulară, cu laturile paralele cu marginile pieţei (vezi zona plină din exemplu). Dacă Ionuţ va calcula suma cerută, atunci el va fi recompensat în parcul de distracţii, de către părinţii lui.

Determinaţi suma cerută de părinţii lui Ionuţ.

Presupunem că avem n numere prime notate a1, a2, ..., an sortate strict crescător. Formăm un șir strict crescător b ale cărui elemente sunt toţi multiplii acestor n numere prime astfel încât, multipli comuni apar o singură dată. Presupunem că numerotarea pozițiilor elementelor din șirul b începe tot cu 1. Scrieți un program care citește din fişierul de intrare valoarea lui n şi apoi cele n elemente ale şirului a, determină elementul de pe poziţia m din şirul b şi afişează în fişierul de ieşire valoarea acestuia.

Anul acesta se organizează prima ediție a Olimpiadei Pluridisciplinare pentru Centrele de Excelență, PluriCEX. Fiecare Centru de Excelență din țară va trimite la concurs o echipă formată din k membri (toți participanți la Centrul de Excelență). Echipa va trebui să rezolve probleme interdisciplinare, disciplinele vizate fiind cele de la Centrul de Excelenţă (D discipline, pe care le vom considera numerotate de la 1 la D).
Directorul CEX Iași a făcut o listă cu primii n cei mai buni elevi de la CEX, apoi a numerotat elevii de la 1 la n, în ordinea apariției lor în listă. Pentru fiecare elev, directorul a notat disciplinele la care el participă la CEX. Scrieți un program care să determine toate echipele ce pot fi formate din k dintre cei n elevi de pe lista directorului, cu condiția ca pentru fiecare disciplină să existe în echipă cel puțin un membru care să studieze la CEX disciplina respectivă.

Un gospodar are N iepuri (pe care i-a numerotat de la 1 la N) și foarte mulți morcovi. Ce e mai deosebit în această gospodărie este că iepurii sunt organizați ierarhic, în funcție de vârstă, autoritate și nevoile nutriționale. Astfel, fiecare iepure are exact un șef direct (exceptându-l pe Rilă Iepurilă, care este șeful cel mare, șeful tuturor iepurilor). Orice iepure poate avea 0, 1 sau mai mulți subordonați direcți. Orice iepure-șef va mânca cel puțin un morcov mai puțin decât fiecare dintre subordonații săi direcți. Gospodarul nu se poate hotărî câți morcovi să dea fiecărui iepure și ar vrea să știe în câte moduri poate împărți morcovi la iepuri știind că fiecare iepure poate să mănânce minim un morcov și maxim K morcovi. Scrieți un program care calculează numărul de posibilități modulo 30011 de a împărți morcovi la cei N iepuri știind că orice iepure poate mânca între 1 și K morcovi și trebuie să mănânce cu cel puțin un morcov mai puțin decât fiecare dintre iepurii care îi sunt subordonați direcți.