Lista de probleme 3

Iepurașul Coconaș vrea să ajungă la grădina cu morcovi. Pentru aceasta el trebuie să traverseze prin salturi o zonă cu proprietăți speciale. Zona este formată din N căsuțe numerotate de la 1 la N, dispuse una după cealaltă, iar fiecare căsuță conține un număr natural ce reprezintă cantitatea de energie necesară iepurașului pentru a sări într-o altă căsuță.

Iepurașul pleacă dintr-o anumită căsuță și se deplasează, de la stânga la dreapta, spre grădina cu morcovi după următoarele reguli:

• numărul înscris în căsuța în care se află iepurașul reprezintă numărul de căsuțe peste care el va sări;
• dacă numărul înscris în căsuța în care se află iepurașul este număr prim, atunci energia lui se dublează şi va sări peste un număr dublu de căsuţe;
• numărarea căsuțelor peste care va sări se face de la stânga la dreapta și începe cu căsuța imediat următoare. Astfel, dacă iepurașul se află în căsuța a treia și numărul înscris în această căsuță este 5, iepurașul va ajunge în căsuța cu numărul de ordine 13 (13=3+2*5).
• dacă iepurașul ajunge într-o căsuță care conține numărul 0, el rămâne acolo pentru că nu mai are energie să sară mai departe, altfel el continuă să sară după regulile descrise mai sus;
• iepurașul ajunge la grădina cu morcovi dacă ultimul salt pe care îl face depășește căsuța N.

Scrieți un program care citește trei numere naturale P, N și K iar apoi N numere naturale și determină:

1) dacă iepurașul poate ajunge sau nu, la grădina cu morcovi pornind din căsuța K și numărul de salturi pe care le face iepurașul pornind din căsuța K;
2) căsuța de pornire a iepurașului, astfel încât drumul parcurs de el să traverseze un număr maxim de căsuțe. Pentru a determina numărul de căsuțe se vor lua în calcul: căsuța de pornire, toate căsuțele peste care iepurașul a sărit și toate căsuțele în care a ajuns în urma salturilor. Iepurașul poate porni din oricare căsuță. În cazul în care există două sau mai multe căsuțe de pornire care conduc la același număr maxim de căsuțe traversate se va lua în considerare căsuța cu numărul de ordine cel mai mic.

În țara lui Piticot cuvintele au doar două litere, prima fiind o majusculă (literă mare) iar a doua o minusculă (literă mică). Piticii Mi și Gi se distrează și își trimit mesaje ascunzând cuvintele în cadrul unor secvențe transmise sub forma unor șiruri de litere. Piticul Mi scrie și trimite un mesaj piticului Gi respectând următoarele reguli:

• un mesaj conține una sau mai multe secvențe;
• orice literă care apare în mesaj, de cel puțin două ori, pe poziții alăturate, este numită terminator;
• o secvență se încheie când s-a întâlnit o succesiune de litere terminator;
• cuvântul este format din prima majusculă și ultima minusculă din secvență, fără a lua în seamă litera terminator a secvenței;
• o secvență ascunde un cuvânt dacă terminatorul său se repetă de exact două ori și dacă conține cel puțin o literă mare și o literă mică, ignorând terminatorul de secvență;
• costul unui cuvânt este egal cu numărul total de apariții al celor două litere din care este format, în cadrul secvenței în care a fost ascuns, luând în considerare inclusiv literele terminator.

De exemplu secvența s f u E e t R u E E ascunde un cuvânt deoarece conține și majuscule și minuscule, iar litera terminator de secvență, E, se repetă de exact două ori. Secvența ascunde cuvântul Eu, iar costul cuvântului este 5 (3 litere E + 2 două litere u).

La primirea mesajului, piticul Gi determină, pentru fiecare majusculă, costul maxim al cuvintelor care încep cu aceasta.

Scrieţi un program care determină:

1) numărul de secvențe trimise care nu ascund cuvinte;
2) cuvintele din mesaj, în ordinea în care au fost trimise de piticul Mi;
3) pentru fiecare majusculă, câte cuvinte care încep cu ea au costul maxim determinat de Gi.

Lui Mihai îi place matematica distractivă, sau poate mai mult distracția decât matematica. Pentru a scăpa de teme, el a inventat operația ”smile” notată cu semnul ☺, operație care se aplică numerelor naturale nenule conform exemplelor de mai jos:

• 6☺4=210
• 9☺2=711
• 8☺5=313
• 7☺6=113
• 6☺6=12
• 6☺10=416
• 43☺1500=14571543
• 23☺23=46

Profesorul de matematică i-a promis nota 10 pentru invenție, numai dacă știe să determine corect numărul divizorilor pari pentru rezultatul obținut prin operația ”smile”. Astfel, Mihai a primit N perechi de numere (a,b) pentru care trebuie să calculeze a☺b și să determine dacă rezultatul obținut are divizori pari.

Scrieți un program care citește un număr natural N și N perechi de numere naturale (a,b) și afișează:

a) pentru fiecare pereche de numere (a,b), rezultatul a☺b;
b) cel mai mic și cel mai mare rezultat a☺b care nu are divizori pari.