Lista de probleme 3

Se consideră o matrice cu elemente 0 sau 1, cu L linii (numerotate de la 1 la L) şi C coloane (numerotate de la 1 la C).
Definim o zonă dreptunghiulară ca fiind o submatrice ce are pe contur numai valori 1 şi cu proprietatea că nu există valori de 1 nesituate pe contur şi în acelaşi timp la distanţa 1 faţă de un punct de pe contur. Două puncte sunt la distanţa 1 dacă şi numai dacă sunt vecine pe una dintre cele 8 direcţii.
Să se determine numărul total de zone dreptunghiulare din matrice, ordinul maxim al unei zone şi numărul de zone care au acest ordin maxim.

După multe năzbâtii făcute împreună, Alex şi Cipri nu mai au voie să se întâlnească. Alex – strategul echipei – a plănuit o nouă poznă şi a decis să-i transmită prietenului său planul de luptă, constând din anumite cuvinte dintr-un mesaj m[0]. Pentru a nu fi descoperiți, i-a trimis ulterior mai multe mesaje m[1], m[2], … lui Cipri, acesta trebuind să le descifreze folosind convenția secretă stabilită la începutul prieteniei lor și să “acționeze”. Fiecare mesaj m[i] este format din mai multe cuvinte, separate prin câte un spațiu, numerotate cu valori consecutive, începând de la 1.
Pentru a afla planul, Cipri trebuie să găsească cea mai mare valoare i ≥ 0 astfel încât mesajele m[i] și m[0] să conțină cel puțin un cuvânt identic având același număr de ordine în ambele mesaje. Din m[0] se păstrează toate cuvintele care se găsesc și în mesajul m[i] cu același număr de ordine ca în m[0].
Cuvintele păstrate trebuie ordonate în ordine descrescătoare lexicografică a puterii lor. Puterea cuvântului cu numărul de ordine j în m[0] este egală cu șirul ordonat descrescător al indicilor mesajelor în care apare cu același număr de ordine ca în m[0]. Astfel, un cuvânt care a apărut cu numărul de ordine 2 în mesajele m[0], m[6] și m[8] are puterea {8,6,0}. Dacă două cuvinte au aceeași putere, vor rămâne în ordinea din mesajul inițial. Lui Cipri nu i-a mai rămas decât să citească fiecare cuvânt de la dreapta la stânga şi a descifrat tot planul de luptă Cunoscând mesajele transmise de Alex, ajutaţi-l pe Cipri să descifreze planul de luptă conform convenţiei secrete.

Se organizează o petrecere la care participă N băieți (numerotați de la 1 la N) și N fete (numerotate de la 1 la N). S-a decis ca petrecerea să dureze mai multe minute. În fiecare minut fetele și băieții formează o configurație de dans, adică N perechi, după una din următoarele reguli:
1. băiatul i dansează cu fata i;
2. băiatul i dansează cu fata j și atunci obligatoriu băiatul j dansează cu fata i.
De exemplu, pentru N = 7, două configurații de dans posibile sunt:
(1, 1) (2, 2) (3, 7)(4, 5) (5, 4) (6, 6) (7, 3)
(1, 1) (2, 2) (3, 3)(4, 5) (5, 4) (6, 6) (7, 7)
Prin perechea (i, j) s-a notat faptul că băiatul i dansează cu fata j. Două configurații sunt distincte dacă ele diferă prin cel puțin o pereche. Ştiind că în fiecare minut trebuie formate configuraţii de dans distincte, să se determine câte minute durează petrecerea.