Lista de probleme 3

Dându-se cele N numere din șir să se determine:

• Câte numere din șirul inițial nu au nevoie de transformare (conțin doar cifre distincte)?
• Câte numere va conține șirul după realizarea tuturor operațiilor de unire?
• Care este numărul maxim de cifre ale unui număr din noul șir și câte numere au acest număr maxim de cifre?

Primarul orașului X dorește să aibă un iluminat public modern. Pentru aceasta, realizează o schiță sub forma unui pătrat cu n linii și n coloane în care fiecare element situat la intersecția unei linii cu o coloană reprezintă un cartier. Primarul a calculat pentru fiecare cartier care este numărul de stâlpi de iluminat public din acel cartier. Cunoscând numerele naturale nenule n și k, precum și numărul de stâlpi de iluminat din fiecare cartier, să se determine:

• Câți stâlpi de iluminat se află în cartierul cu număr maxim de stâlpi de iluminat la etapa cu numărul k din procedeul de stingere a becurilor?
• Câte becuri se sting, în total, la etapa cu numărul k?
• Care este numărul maxim de becuri aprinse într-o zonă pătratică a orașului de dimensiune k x k, înainte de a începe stingerea becurilor?

Fie un șir de N coloane de ciment (pozițiile lor fiind numerotate de la 1 la N) de aceeași lățime și diverse înălțimi. Ele sunt încadrate la stânga (poziția 0) și la dreapta (poziția N+1) de ziduri foarte înalte. Apa începe să curgă de deasupra primei coloane, câte o pătrățică de apă pe secundă. Apa se acumulează dacă are pereți în stânga și în dreapta, altfel curge mai jos către dreapta. Deasupra fiecărei coloane de ciment se poate forma astfel o coloană de apă, cu înălțimea egală cu numărul de pătrățele de la nivelul apei până la zona de contact cu coloana de ciment.

• Care este înălțimea H a celei mai înalte coloane de apă după ce apa a ajuns peste tot la înălțimea celei mai înalte coloane de ciment?
• Care este numărul T de secunde în care apa ajunge să acopere coloana numărul P?
• Care este poziția D a celei mai din dreapta coloane acoperită de apă după S secunde?
• Care este poziția R a celei mai din stânga coloane pe care o putem reduce cu o unitate astfel încât apa să ajungă cât mai repede la coloana P?