Lista de probleme 894

Mugur a primit cadou de ziua sa de la fiul său Mugurel o stivă. După ce chefuiește cu prietenii la Căminul Cultural din Imperiul Rațelor de Cauciuc, el merge acasă entuziasmat și începe să facă operații pe ea.
Operațiile sunt de două tipuri:

• push x. Numărul x se adaugă în stivă (x devine elementul din vârful stivei).
• pop. Se elimină elementul din vârful stivei. Dacă stiva este goală, operația nu are niciun efect.

Din păcate, stiva nu era cea mai calitativă, așa că după ce face N operații pe ea, aceasta dă eroarea maCmAcMac și nu mai poate să execute alte operații.
Fiind o rață bătrână, Mugur nu reușește să-și, amintească instant toate operațiile pe care le-a făcut, însă în fiecare zi își aduce aminte de câte o operație și a câta era aceasta în șirul inițial de operații.

Ca să nu se plictisească, Mugur își pune zilnic câte o întrebare: având doar operațiile până în ziua curentă, dacă le execută în ordinea indicilor, care ar fi elementul de pe vârful stivei?

Se dau numerele naturale nenule \(N\) și \(K\). Să se afle numărul așteptat de numere “nice” într-un șir generat aleatoriu care conține \(N\) numere de cel mult \(K\) cifre, modulo \( 1 \ 000 \ 000 \ 007 \).

Comisarul Roman se află în fața unui dispozitiv exploziv constând dintr-o piramidă cu N nivele numerotate de la 1 la N. Fiecare nivel i conține i bombe numerotate de la 1 la i. Notăm bomba j de pe nivelul i cu B[i, j]. Pentru fiecare bombă B[i, j] se cunoaște timpul în secunde T[i, j] de la momentul inițial după care aceasta explodează. Dispozitivul se consideră dezamorsat odată ce toate bombele au fost dezamorsate. Roman nu vrea să se grăbească, așa că ar vrea să știe care este numărul maxim de secunde X astfel încât, dacă ar începe operațiunea de dezamorsare cu o întârziere inițială de X secunde, dispozitivul ar putea fi încă dezamorsat cu succes. Pentru Q teste, date fiind N și valorile T[i, j] pentru 1 ≤ j ≤ i ≤ N, se cere numărul X.

Fascinată de cultura chineză și Marele Zid Chinezesc, Andra s-a hotărât să își construiască propriul zid în miniatură, de înălțime N și lățime M, din piese roșii și galbene pe care le deține. Ea are la dispoziție un număr nelimitat de piese cu lățimea de o unitate și toate înălțimile posibile. Piesele roșii (hóng) au înălțimea impară (1, 3, 5, ...), pe când piesele galbene (huáng) au înălțimea pară (2, 4, 6, ...). Piesele nu pot fi rotite și pot fi plasate doar pe verticală. Deoarece culoarea galbenă este considerată cea mai prestigioasă în cultura chineză, Andra vrea ca suma lungimilor tuturor pieselor galbene ce alcătuiesc zidul să fie egală cu un număr K, special ales astfel încât să aducă noroc. Mai mult de atât, ea se întreabă în câte moduri poate construi zidul astfel încât această condiție să fie respectată. Date fiind N, M și K, determinați numărul de moduri de a construi zidul în condițiile date.

Se dau două șiruri, A și B, cu valori din mulțimea {0, 1}.
1. Să se afle numărul de subsecvențe distincte din B care sunt subșiruri în A.
2. Să se afle, pentru o subsecvență B[p...q], numărul de subșiruri din A egale cu aceasta.
3. Să se afle numărul de subșiruri din A care sunt subsecvențe în B.

Andra are un pachet cu n tipuri de buline de ciocolată, cu câte c[i] buline de fiecare tip i. Andra dorește să utilizeze toate bulinele pentru a construi piramide, fiecare fiind formată din unul sau mai multe rânduri, numerotate începând de la 1. Pentru fiecare piramidă în parte, pe rândul i, se află 2i-1 buline. Spre exemplu, pe rândul 8 al unei piramide, se află 27 = 128 de buline de ciocolată. Pe fiecare rând al unei piramide se află unul sau mai multe tipuri de buline, iar același tip de buline se poate folosi pe oricâte rânduri. Dintre piramidele care se pot forma, cele serioase conțin pe fiecare rând doar un tip de buline. Folosind toate bulinele, ajutați-o pe Andra să determine:

1) Numărul minim de piramide de ciocolată pe care le poate forma.
2) Numărul minim de piramide serioase de ciocolată pe care le poate forma, astfel încât toate cele obținute să fie de acest fel.

Știind că scopul lui Stresu’ este să o prindă pe d-ra R, scrieți un program care să determine timpul minim în care Stresu’ poate ajunge în aceeași cameră cu d-ra R.

Se dă un graf neorientat cu n vârfuri și m muchii prin lista muchiilor și un număr natural k. Afișați numărul de componente conexe care sunt formate din k vârfuri.

Dominic este un alchimist renumit pentru experimentele sale cu pietre preţioase. De-a lungul carierei sale a reușit să strângă o colecție de N nestemate pe care le-a numerotat de la 1 la N. Conform studiilor sale, aspectul fiecărei nestemate este caracterizat prin trei întregi X, Y și Z reprezentând culoarea, claritatea şi strălucirea acesteia.

Dominic a descoperit o metodă secretă prin care poate face o nestemată din colecția sa să capete aspectul unei alte nestemate din colecţie. Metoda are însă o slăbiciune, reuşind dacă şi numai dacă cel puţin una din valorile primei nestemate este egală cu cel puţin una dintre valorile celeilalte nestemate, dar este irelevant dacă proprietatea pe care o reprezintă cele două valori coincide. De exemplu, nestemata (1, 3, 4) poate fi transformată în nestemata (3, 2, 2) deoarece ambele au una din proprietăţi egală cu 3.

Se dau numărul de teste T şi pentru fiecare test N, A şi B şi proprietăţilor celor N nestemate din colecţia lui Dominic. Se cere să se afle numărul minim de transformări necesare (dacă este posibil).

Floricel vrea să facă cât mai mulți bani. Ca să aibă suficienţi bani să-şi poată cumpăra un apartament, are de rezolvat o problemă care se poate modela astfel: El are N intervale inițiale, date prin capetele lor. Floricel mai trebuie să creeze intervale noi, denumite intervale de acoperire. Prietenul său, Ted, îi spune că are nevoie de mai multe provocări în viață să fie mai fericit, și îi pune Q întrebări de forma: “Dacă ai voie să creezi cel mult K intervale de acoperire, care ar fi lungimea minimă a celui mai lung interval de acoperire astfel încât toate intervalele inițiale să fie acoperite? Și dacă poți, care este soluția minimă lexicografic? O soluție este minimă lexicografic dacă este minimă întâi după numărul intervalelor de acoperire, iar după aceea comparând intervalele după capetele de stânga și de dreapta, ordonând intervalele după capetele din stânga.”